淺談數形結合的高中數學解題策略

何紅兵

（福建省南平一中）

數形結合在數學解題中應用，要特別意識到數與形兩者之間相互表征的學習和鍛煉：數形結合主要彰顯數與形的相互轉化，通過二者的相互表征和轉化，能形象轉化數學解題的“互譯”。尤其當數學問題以代數形式或者與幾何題型結合時，學生在解題過程中，應有效利用圖形將問題轉化成圖形，使復雜的數學問題得以形象展現，即借助圖形直觀挖掘數學的幾何意義。這樣不僅有助于學生對數學問題的深層次理解，還能體現學生學習數學的靈活性和對知識的活學活用。

一、數形結合的數學思想

我國著名數學家華羅庚曾經說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微。”數形結合賦予了數學生命力，讓數學問題的條件和結論同時展現其代數意義，又揭示其幾何直觀效果，讓數學問題可以借助簡單的圖形、符號和文字所作的示意圖，促進學生形象思維和抽象思維的協調發展，溝通數學知識之間的聯系，從復雜的數量關系中凸顯最本質的特征。

之所以說數形結合是一種重要的思想方法，是因為其在數學解題中的廣泛應用。數形結合是一種重要的數學思想和一柄雙刃的解題利劍。這是數形結合在解題方法基礎上的一種提升，是目前高中數學教學中正在被接受的一種認識。它不再被看成是一種解題工具，而被看成是站在更高角度上用于指導解題教學，甚至是數學教學的一種思想策略。

數形結合既是一種解題方法，也是一種數學意識，在解題過程中有著十分廣泛的應用。數形結合是一種數學思想，是一個值得認可的觀點。但數形結合可以從數學思想上升為一種數學意識，甚至是一種意識。作為一種數學意識，時刻活動在數學教與學中，所發揮的數學教育意義會更大；作為一種意識，活動在生活的方方面面，發揮的作用會更大，影響會更廣，這樣它的教育價值也就更大。

二、高中數學中數形結合的解題策略

運用數形結合可以求解大量問題，但是在數學題型中，每類問題都各有特點，每一類問題都有一定的特點。以下就各類問題特征談論一下運用數形結合的解題策略：

1.適用性

在對高中數學問題的梳理中，可以具體分為以下幾類：（1）與函數相關的問題，通過圖象及其性質來找到函數問題的突破口；（2）在求解方程和不等式問題中的運用；（3）在附屬問題上，經常用到幾何圖形來求解；（4）求最大值或者最小值的問題，這類問題通過對圖形與數量之間的特殊關系分析，使得問題更加直觀，求解簡便快捷。

2.廣泛性

數與形的轉換在高中數學中的應用十分廣泛，通過數形轉化，可以借助于圖象研究函數的性質求函數的解析式、定義域、值城，極值與最值；還可以通過數形轉化來研究函數的奇偶性、增減性、周期性；比較大小；判斷和證明不等式以及解方程等。不僅如此，數形轉化在復數、三角、解析幾何中的應用也十分普遍。

3.以形促數

以形助數、以數輔形。這類方法通常用于代數式的幾何意義或借助函數的圖象構造幾何圖形入手，例如數形結合思想在不等式證明中的幾點應用：（1）結合平面圖形，運用勾股定理和三角形三邊的關系來證明不等式；（2）結合平面圖形，通過面積的不等關系來證明不等式；（3）通過利用圓中直徑與弦的關系和其他圓的知識，證明不等式等等。

另外，在運用數形結合思想解題時，有些問題較明顯，但有些問題需要通過幾何圖形來形象展示，比如：（1）過構造幾何模型；（2）三角函數中常用的構造方法：構造直角三角形、構造相似三角形、構造單位圓、構造圓錐曲線方程。

綜上所述，能用數形結合求解的問題很多。通過數形結合解題在高中數學各知識層面中都比較常見，大致總結其常用如下：（1）在求解集合題的過程中，經常是將文字和數軸相結合來進行；（2）在求解函數問題過程中的應用，包括三角函數求解，可以求函數的解析式、定義域、值城、極值與最值，也可以研究函數的奇偶性、增減性、周期性，還比較函數的大小，這些都是結合函數的圖象性質進行的；（3）在求解向量問題中的應用，要充分聯系向量的幾何意義；（4）在求解不等式問題中的應用，可以通過函數特點或者構造幾何圖形來求解；（5）在求解解析幾何問題中的應用，通常需要建模方法加以輔助等。

三、數形結合的解題實例分析

數形結合的解題過程：審題后聯想到距離公式，將所求的函數做如下轉化：

求解的函數圖形

在高中數學中，數形結合的思想更多的是作為眾多研究的思維方法和手段中的一種存在，可以簡單地理解為有些數學問題是難以用直觀的圖示來表達的。盡管如此，數形結合的方法依舊對高中數學解題乃至整個高中數學教學有著重要的作用。高中數學解題中常用的方法有數形結合、整體性、分類討論、類比聯想、逆向思維、化歸轉化和構造性七種思想方法。數學思想與數學方法是數學知識的核心和靈魂。數形結合的思想在高中數學中占有舉足輕重的地位。高中數學的很多題目都需要根據題目條件畫出圖形，因為通過圖形能夠很直觀地看出各種關系。學習數學要勤思考，多總結，把數學的思想和方法靈活地運用到解題中去，才能發現數學學科的趣味和奧妙！

［1］李亞湖.數形結合在高中數學中的應用［J］.廣東教育：教研版，2011（06）：132.

［2］趙紅英.數形結合思想在解題中應用點滴［J］.中國科教創新導刊，2013（18）：205.