利用微軟Math3.0設計教學《函數y=Asin（ωx+φ）的圖像》

李 晶

（陜西省西安中學）

函數y=Asin（ωx+φ）是三角函數一章中的重點和難點。這節課如果只采用傳統的板書教學，不僅作圖量大，而且要在同一坐標系中作出多個精確的圖像比較困難，不利于引導學生從感性認知快速準確地上升為理性認知。為了提高課堂效率，一些老師采用幾何畫板輔助教學，變靜為動，變抽象為直觀，這樣比單純板書作圖效果好，容易突破學生理解上的難關。但是，在實際教學中，很多教師并沒有采取這種先進的手段，除了教學觀念、態度等的原因外，有一個關鍵原因是不能熟練應用幾何畫板，所以筆者想借助另一種更易上手的軟件——微軟Math3.0 來設計本節課。

微軟Math3.0 是微軟公司近些年發布的一款功能強大的數學軟件，比起幾何畫板，它更易上手，一般試用一兩次就會使用，不僅能給老師們帶來便捷，還能成為輔導學生課后研究的好幫手。

對于《函數y=Asin（ωx+φ）的圖像》一課，利用微軟Math3.0 可以輔助提高教學效率。下面就教學方法和主要教學過程作以詳細闡述。

一、教學方法

采用探究發現法，以物理中的實例為切入點，激發學生的求知欲，將信息技術融入整個教學過程中，將函數圖像的變化過程直觀動態地展現給學生，通過引導學生進行觀察、思考、猜想、驗證、歸納等數學活動，培養學生的探究能力、分析問題的能力以及抽象概括的能力。函數y=Asin（ωx+φ）涉及3 個參數，先逐一探究各參數的作用，然后再將三個參數綜合起來，使學生體會先局部后整體以及由特殊到一般的思想方法。

二、教學過程

1.設置情境，引入課題

教師：在物理和工程技術的許多問題中，經常會遇到形如y=Asin（ωx+φ）的函數，例如，在簡諧振動中位移與時間表示的函數關系就是形如y=Asin（ωx+φ）的函數。那么，這個函數和正弦函數y=sinx 有什么關系？換句話說，參數A、ω、φ 對y=Asin（ωx+φ）的圖像有什么影響？

學生討論交流并回答：先分別考查A、ω、φ 對y=Asin（ωx+φ）的圖像的影響，然后再綜合分析y=Asin（ωx+φ）和y=sinx 的關系。

設計意圖：培養學生先局部后整體的思想。

2.啟發思考，探究新知

探究1：A 對y=Asinx 的圖像的影響

設計意圖：通過讓學生自己作圖，復習“五點作圖法”并尋找圖像間的關系，讓學生體會研究三角函數問題的方法，培養學生數形結合的思想和分析問題的能力。

教師引導學生分析特殊點的坐標變化和以上三個函數的聯系，不難得出：y=Asinx，x∈R（A＞0，A≠1）的圖像可以看作把正弦曲線上所有點的縱坐標伸長（A＞1）或縮短（0＜A＜1）到原來的A 倍得到的。

學生探究y=Asinx（A＞0，A≠1）的性質：與y=sinx 作比較，定義域、奇偶性、單調區間、周期性均沒有發生變化；值域和最值發生了變化，y=Asinx 的值域為［-A，A］，最大值為A，最小值為-A。

教師：由以上討論可以看出，在函數y=Asinx（A＞0）中，A 決定了函數的值域以及函數的最大值和最小值，通常稱A 為振幅。

探究2：φ 對y=sin（x+φ）的圖像的影響

圖1

教師先引導學生觀察特殊點坐標的變化（點擊trace 開始按鈕

教師將φ 的值調回到0（此時y=sin（x+φ）即為y=sinx），點擊拖動滑塊向右滑動，讓學生觀察當φ＞0 時，y=sinx 的圖像怎樣移動；再將φ 的值調回到0，拖動滑塊向左滑動，讓學生觀察φ＜0時，y=sinx 的圖像怎樣移動。

學生討論交流φ 對y=sin（x+φ）圖像的影響，并歸納：函數y=sin（x+φ）的圖像可以看作把正數曲線上所有的點向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移個單位長度得到的。

學生探究y=sin（x+φ）的性質：與y=sinx 作比較，定義域、值域、最值、周期均沒有發生變化；奇偶性和單調區間發生了變化。

教師：在函數y=sin（x+φ）中，φ 決定了x=0 時的函數值，通常稱φ 為初相，x+φ 為相位。

探究3：ω 對y=sinωx 的圖像的影響

探究方法類似探究2，此處不作詳細說明。注意在探究過程中指導學生思考“為什么ω 變大，圖像反而橫向收縮；ω 變小，圖像反而橫向拉長了？”

探究4：如何由y=sinx 的圖像得到y=Asin（ωx+φ）的圖像

對于這個問題，學生容易在平移和橫向伸縮變換上出現問題，分不清先左右平移后橫向伸縮和先橫向伸縮后左右平移有什么區別，例如，有的學生選擇了先進行橫向伸縮變換，然后理所當然地認為接下來把圖像“左移個單位長度”。為了糾正學生認識上的錯誤，教師可以利用Math3.0 作如下演示：

（1）利用Math3.0 的Graphing 功能在兩個函數輸入框中輸入y=sinx（作為對比圖）和y=Asin（ωx+φ），作出它們在同一坐標系中的圖像（此時A=1，ω=1，φ=0，并將A 的取值范圍設置為［0，3］）；

（2）將ω 的值由1 調為2，可以看到函數圖像上各點的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的，函數圖像動態地變為y=sin2x 的圖像；（3）將φ 的值由0 調為0.52（的近似值），可以看到y=sin2x的圖像向左平移了0.26（的近似值）個單位長度，得到函數y=的圖像；

教師：剛才演示的變換過程是先橫向伸縮變換后左右平移變換，再縱向伸縮變換（說明：縱向伸縮變換也可以放在最前面或者中間進行，不影響最終結果），現在我們把橫向伸縮和左右平移這兩步變換的順序倒過來，同學們注意觀察圖像的變化。

圖2

教師用Math3.0 演示如下：

（1）同前一種變換第1 步；

（4）同前一種變換第4 步。

在觀察圖像變化的過程中，教師引導學生思考“對比前一種變換，它們有什么不同？為什么會產生這種不同？”

學生不難得出：如果先橫向伸縮后左右平移，則平移的長度不再是個單位長度，而是個單位長度。但是，有些學生對這其中的原因不理解，所以教師可以補充說明：如果記（fx）=sin2x，則，我們學過由（fx）的圖像得到的圖像，只需把（fx）的圖像向左平移個單位長度，所以要得到的圖像，應該把sin2x 的圖像向左平移個單位長度。

最后，教師引導學生梳理知識，總結由y=sinx 的圖像得到y=Asin（ωx+φ）的圖像的兩種變換方法。

以上是對《函數y=Asin（ωx+φ）的圖像》一課的主要內容的設計。Math3.0 軟件是一種便捷的數學教學工具，合理地使用它可以給我們的數學課堂帶來活力，提高教學效率。