例談簡單分式型正、余切三角函數最值（值域）的求法

邱芳忠

（江西省信豐縣第七中學）

函數最值和值域的求法是高中數學函數的一個重點，也是難點，更是每年高考的熱點.而三角函數最值和值域的求法比一般函數最值和值域的求法，其解題過程要更復雜，解題方法要更靈活，解題技巧要更多樣.本文就以簡單分式型正、余切三角函數為例，對其最值和值域的求法加以歸類并指出解題方法.

解法1：（“1”的代換與公式法的結合）

所以原函數的值域為y∈｛y|y≠1｝.

點評：上面的解題過程，要注意“1”代換的內容和兩角和與差正切公式的正確運用。

解法2：（分離常數法）

從而原函數的值域為y∈｛y|y≠1｝.

點評：當分式型三角函數的分子和分母都一次式時，首先應對其進行常數分離，這樣問題就自然迎刃而解了.

解法1：（多次換元與二次函數配方的結合）

因為Δ=22-4×1×2=-4＜0，所以u（t）＞0，從而y＞0.

綜上所述，原函數的值域為y∈（0，2］.

點評：有些數學問題利用多次換元后，復雜的式子就變得簡單多了，要求解的問題立刻躍然紙上，這感覺猶如“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”.

解法2：（判別式法）

原函數可變為：ytan2x+2ytanx+2y-2=0（tanx∈R），

當y=0 時，-2=0 顯然不成立，所以y≠0；

從而由△≥0 可得到：4y2-4y（2y-2）≥0，即y2-2y≤0，解得0≤y≤2.

因為y≠0，所以0＜y≤2，從而得到原函數的值域為y∈（0，2］.

點評：運用判別式法求分式型三角函數的值域時，首先要保證自變量取自身的范圍；其次去分母變形后所得到二次方程，要討論二次項系數為零與不為零的情況.

解：（等價轉化與換元、二次函數配方的結合）

點評：當所給的簡單分式型三角函數是齊次式的正、余弦函數時，習慣上把它轉化成分式型正切函數來求解問題.