“意外”之外的思考

謝：王老師，好意外喲！我們班上鋪磚這道題只有7人做對，究竟是什么原因，我還是沒想明白，想請您給診斷診斷。

王：能從質量監測的角度反思我們的教學，進而改進我們的教學，非常好！你所說的究竟是個別現象還是普遍現象呢？我先了解一下情況，然后再交流。

【抽樣調查】

事情還得從小學畢業考試說起。試卷中有這樣一道題“用同樣的磚鋪地，鋪18平方米要用612塊磚。如果鋪24平方米，需要多少塊？”這就是一線教師口中鋪磚的題目。為了追本朔源，我隨機訪問了不同學校的幾位閱卷教師。

王：鋪磚這道題學生做得怎樣？

羅興洪（中四路小學）：王老師，你不知道，在閱這道題的時候，發現那么多的同學都是用18×612÷24解答，我還懷疑是自己做錯了，趕緊請其他教師來看。

譚瓊（石油路小學）：我們也覺得奇怪，這么簡單的一道題，為什么那么多人錯，是整套試卷中錯誤率最高的。

……

看來大家的直觀感知是一樣的——錯誤率高，那么，最具說服力的數據會支持我們的直覺嗎？為此，我選取了幾所樣本學校，對該題的答題情況進行了統計，結果如下。

【專家解惑】

王：我們都認為此題簡單，而學生的表現與教師的期望之間又有如此大的差距，面對28.1%、31.4%、48.9%……這組數據，你是怎樣想的？

謝：應該是我們的教學出了問題。

王：為什么這樣說？

謝：如果是個別學生錯，應該是學生的問題，但錯誤率普遍高，肯定是我們的教學出了問題。

王：我們的教學出了哪些問題？

謝：在教學中，我們很關注學生對正比例、反比例知識點的掌握，但對具體情境中是成正比例還是反比例的對比訓練比較少。

王：也就是說，我們很關注知識點的落實，但對知識轉化為問題解決能力的訓練比較單一。

謝：對，因為在日常教學中，與鋪磚有關的題目基本上都出現在反比例關系中，大量練習的結果，使學生看見鋪磚的情境，條件反射就是反比例關系，自然就按照成反比例的數量關系，用18×612÷24解答。

王：你們是否進行過這樣的訓練：比如給出鋪磚的情境，讓學生自己編用比例解決問題。

謝：沒有，壓根沒想到。

王：事實上，學生根據經驗最容易編用反比例解決的問題，這時我們可引導學生思考，除了反比例能否編用正比例解的題目？并通過對比使學生明白，當什么一定就是反比例的問題，當什么一定就是正比例的問題，從而明白同一情境可以承載不同的內涵，有效防止思維定勢的形成，有助于知識轉化為能力。

謝：我們很多時候都是設計的同質同構的重復訓練，造成了“熟而生笨”的奇特現象，得不償失。

王：人們常說，一個人具有某種能力，就意味著具有掌握和運用某方面知識技能的可能。從學科角度看，數學能力是一種特殊能力，是人們順利完成數學活動所必須具備的穩固的心理特征；從知識與能力的關系而言，掌握一定的基礎知識是形成能力的前提， 而能力的形成與發展是在數學活動中完成的。作為數學能力的重要組成部分，問題解決能力的培養應在與問題解決有關的數學活動中完成。

謝：我明白了，我們應多學習多思考，多角度、多層次、創造性地設計與問題解決有關的數學活動，為學生問題解決能力的培養提供策略支撐。

王：除了上述原因，我認為問題解決的思維模式不完備也是一個誘因。

謝：我還真沒想到這點，請您說詳細一點、具體一點。

王：著名數學教育家波利亞在《怎樣解題》一書中指出：數學問題解決必須經過理解問題、明確任務，擬定解題計劃，實施解題計劃，檢驗和回顧四個過程。

謝：對呀，修改后的人教版教材也明確提出：數學問題解決必須經過閱讀與理解，分析與解答，回顧與反思三個階段。

王：很明顯，學生的閱讀與理解流于形式。一是表現在學生的思維活動。由于該題是問題解決的第二題，心理暗示——簡單，行為反應——輕視，表現在閱讀不認真、一帶而過，導致的結果是題意不清楚，問題不熟悉，數量關系想當然。二是表現在學生對閱讀與理解的重要性認識不夠、缺乏閱讀與理解的方法。如果對重要性認識到位，就不會憑自己的感覺臆造題意；如果有方法，首先會搞清楚是什么事；然后捕捉有用的數學信息，明確誰和誰有關系，有什么關系；最后知道解決什么問題；就不會出現約51.1%的學生將正比例關系判斷為反比例關系了。

謝：王老師，您的分析很到位，我們班上就有學生說“謝老師，明明是說的每塊磚18平方米”，還有學生說“一看題目好熟悉，反比例關系，直接列式計算。”

王：還折射出回顧與反思形同虛設。為什么這樣說呢？如果學生的思維模式中有回顧與反思這一環節，從不同角度都能發現自己的錯誤。如將問題與條件交換進行檢驗；回顧題意，24平方米所需磚的塊數應該比18平方米多，也就是比612塊多，也能判斷出用反比例求得的結果459塊是錯的；對自己的解題過程、策略進行反思等。

謝：其實我們教師也有很大的責任。比如，對回顧與反思的重要性認識不足、著力不夠，沒有教給學生如何回顧、如何反思的方法等。

王：這就需要我們有意識地創設一些數學活動，進一步幫助學生完善問題解決的思維模式，從而明確閱讀與理解、分析與解答、回顧與反思時，分別該做什么、怎么做、為什么要做等。

謝：王老師，學生不能借助已有的經驗幫助思考是不是也是一個誘因？

王：我贊同，因為對六年級學生而言，他們有豐富的一塊地磚有多大的體驗，積累了相應的活動經驗。當他們提取出“一塊地磚18平方米”的信息時，如果學生有借助經驗幫助思考的習慣，就能從自身經驗中提煉出一塊地磚究竟有多大的表象，就會用批判的眼光去審視自己提取的信息——有18平方米這樣大的一塊地磚嗎？從而改造自己的思維方式。

謝：我明白了，“意外”真的不是意外，是我們對課標理解的不到位、導致教學活動的偏差所帶來的必然結果。您的指導真是使我受益匪淺，感謝王老師！

王：不客氣！在以后問題解決的教學中，注重數學與生活的聯系，增強應用意識，提高實踐能力，獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，初步形成評價與反思的意識，從而提高教學質量，進而全面提高學生的數學素養，讓意外不再發生。