幾何直觀：尋找解決問題的“天平”

【關(guān)鍵詞】幾何直觀;解決問題;天平模型;解決問題的策略;假設(shè)

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）33-0059-03

【教材編排】

《解決問題的策略：假設(shè)》是蘇教版教材六年級上冊的內(nèi)容。教材安排了兩道例題，例1是“倍數(shù)關(guān)系”的假設(shè)：小明把960毫升果汁倒入6個小杯和2個大杯，正好都倒?jié)M。已知小杯的容量是大杯的■，小杯和大杯的容量各是多少毫升？例2是“相差關(guān)系”的假設(shè)：在2個同樣的大盒和5個同樣的小盒里裝滿球，正好是100個。每個大盒比每個小盒多裝8個，每個大盒和小盒各裝多少個？

【課前思考】

自從使用新課標教材以來，這節(jié)課得到了很多教師的精彩演繹，所形成的“策略”教學(xué)似乎已成經(jīng)典，很難超越。但聽完課后，始終有幾個問題困擾著我：

1.學(xué)生比較容易解決“倍數(shù)關(guān)系”的假設(shè)問題，為什么解決“相差關(guān)系”的假設(shè)問題時，不少學(xué)生會一籌莫展？困難在哪里？

2.本節(jié)課，學(xué)生掌握“假設(shè)”的策略，感悟“假設(shè)”的思想就夠了嗎？解決問題的關(guān)鍵在哪里？還有哪些數(shù)學(xué)的意義和價值？

【學(xué)情分析】

課前，在學(xué)生沒有任何準備的情況下，我就上述兩道例題對學(xué)生進行了前測。結(jié)果，例1的準確率達到了61.9%，例2的準確率僅為19.0%。其實，對于“把兩種不同的量假設(shè)或轉(zhuǎn)化成同一種量”，學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中已經(jīng)積累了一定的經(jīng)驗，如異分母分數(shù)加減、名數(shù)的化聚等。

事實上，解決問題的核心是找到數(shù)量間的相等關(guān)系，“假設(shè)”策略是為找到新的等量關(guān)系服務(wù)的。因此，如何引導(dǎo)學(xué)生尋找假設(shè)后的等量關(guān)系就成了“解決問題的策略”教學(xué)的關(guān)鍵。

【設(shè)計意圖】

數(shù)學(xué)是研究“數(shù)”與“形”的科學(xué)。現(xiàn)代腦科學(xué)研究表明，人的大腦對幾何空間有一種認識的本能，對空間的感知能力最強，對“形”最為敏感和深刻。本課中，作為“數(shù)”的等量關(guān)系對于小學(xué)生來說是比較抽象的，那么，能否找到一個合適的“形”來促進學(xué)生的理解和應(yīng)用呢？

我們知道，學(xué)習(xí)方程時，學(xué)生是通過天平來認識和理解等式的，天平是建立方程這個模型的模型。那么，天平能否成為建立解決問題中“等量關(guān)系”這個模型的模型呢？事實上，數(shù)量間的相等關(guān)系是一種數(shù)學(xué)模型，是解決問題的關(guān)鍵。因此，利用幾何直觀引導(dǎo)學(xué)生找到數(shù)量間的相等關(guān)系這個天平模型，成為我重構(gòu)這節(jié)課的主要思考點。另外，從人的發(fā)展來看，把握人生的天平對學(xué)生今后的人生發(fā)展至關(guān)重要。這樣的教學(xué)，不僅能夠突破難點，促進學(xué)生理解數(shù)學(xué)，對學(xué)生認識自然、認識自我也具有一定的教育意義。

因此，我把例1、例2進行了改編和整合，采用“梨和蘋果的重量”這一相同主題的素材，既便于天平這個模型的介入，也有利于學(xué)生進行知識的對比，促進學(xué)生認知結(jié)構(gòu)的形成。

【教學(xué)過程】

環(huán)節(jié)一：感悟天平，體驗簡單的數(shù)量關(guān)系

師：能看懂這張圖嗎？這里的天平表示什么意思？

生：4個蘋果一共重600克。

師（板書：4個蘋果的重量=600克）：有了這個數(shù)量間的相等關(guān)系，求1個蘋果的重量就可以直接用——（用總重量除以蘋果的個數(shù)）

這一環(huán)節(jié)的教學(xué)，旨在引導(dǎo)學(xué)生理解當題目中只有一種量并且建立相等的數(shù)量關(guān)系時，就可以直接解決問題，為后面理解“為什么要假設(shè)”設(shè)置認知沖突，激活學(xué)生的已有經(jīng)驗。之所以用天平而不是文字敘述的形式來呈現(xiàn)，是因為這樣做更能凸顯“等量關(guān)系”這個解決問題的關(guān)鍵，即用天平的平衡性表示數(shù)量間的相等關(guān)系，利用幾何直觀促進學(xué)生的理解和掌握。

環(huán)節(jié)二：理解天平，體驗變化的數(shù)量關(guān)系

師：能看懂這張圖嗎？這里的天平又是什么意思呢？

生：1個梨和2個蘋果一共重600克。

師：要求1個蘋果和1個梨的重量，能用600÷3嗎？

生：不能。

師：為什么天平兩邊相等，卻不能除以3呢？

生：因為梨和蘋果的重量不一樣。

（板書：不同的量。）

生：如果都是蘋果或者都是梨就好了。

師：不改變題目的意思，你有什么辦法能變成都是蘋果或者都是梨嗎？

生：可以補充一個條件。

師：說說看，可以補充怎樣的條件？

生1：一個梨的重量是蘋果的2倍。（倍數(shù)關(guān)系）

生2：一個梨比一個蘋果重150克。（相差關(guān)系）

…………

師：你能找到每一種假設(shè)背后的“天平”嗎？

生1：4個蘋果的重量是600克。

生2：2個梨的重量是600克。

…………

“為什么要假設(shè)”是形成策略的前提。只有讓學(xué)生感受到“為什么要假設(shè)”，才能讓他們體會到解決這類問題的起點，即掌握這類問題的背景和特征。從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗分析，學(xué)生很難主動根據(jù)其中的數(shù)量關(guān)系進行合理的假設(shè)。這時，教師通過相同情境的變換，激發(fā)學(xué)生的認知沖突，喚醒學(xué)生潛在的假設(shè)經(jīng)驗，使他們產(chǎn)生“如果都是蘋果或者都是梨就好了”的心理趨向。同時，觸及知識的本源——把不同物體假設(shè)成同一物體。

“怎樣假設(shè)”是形成策略的重點。上述環(huán)節(jié)中，我引導(dǎo)學(xué)生開展觀察、比較、操作、討論等探求解決問題的方法的活動。在學(xué)生自主探索的基礎(chǔ)上引導(dǎo)他們交流：你是怎樣假設(shè)的？為什么要這樣假設(shè)？同時倡導(dǎo)解決問題的策略的多樣化。通過比較，得出兩種思路的共同之處是將“兩種不同的水果”假設(shè)為“同一種水果”。

“找到假設(shè)后的等量關(guān)系”是解決問題的關(guān)鍵。從前測的情況看，學(xué)生自己也能解決問題。但解決問題不等于體會到了數(shù)學(xué)的實質(zhì)，所以，本環(huán)節(jié)重點要讓學(xué)生理解解決問題的關(guān)鍵是找到假設(shè)后的等量關(guān)系。教學(xué)中，我始終利用天平這個模型引導(dǎo)學(xué)生理解：雖然水果的數(shù)量變了，但天平的平衡沒有改變，因此可以找到這個等量關(guān)系來解決，使學(xué)生體會到問題解決的實質(zhì)。

環(huán)節(jié)三：應(yīng)用天平，體驗復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系

師：如果現(xiàn)在老師給你一個“相差關(guān)系”的條件——一個梨比一個蘋果重150克，這個問題還能用假設(shè)策略來解決嗎？為什么？

生：可以用假設(shè)的策略，因為題目中有兩種量，而且有一定的關(guān)系可以假設(shè)。

師：怎樣假設(shè)？自己先獨立思考，然后在四人小組里討論交流。

（小組討論后全班交流。）

生：可以把梨假設(shè)為蘋果。

師：想象一下，如果把一個梨換成一個蘋果，天平會怎么樣？真的是這樣嗎？

（課件動態(tài)演示天平由平衡變不平衡的過程。）

師：請大家仔細觀察，你發(fā)現(xiàn)了什么？為什么左邊一端高上去了？

生：因為把左邊的梨換成蘋果后，重量少了150克。

師：現(xiàn)在變成一種水果了，能用600除以3嗎？為什么？

生：不能，因為天平兩邊不平衡，也就是說兩邊的數(shù)量不相等。

師：看來問題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系，也就是使天平——

生：要讓天平重新平衡，才能直接除以3，求出1個蘋果的重量。

師：怎樣使天平重新平衡呢？

生：可以在右邊減去150。

師：為什么？

生：因為把左邊的梨換成蘋果后，重量少了150克。要保證天平平衡，右邊應(yīng)該也要減去150克。

（課件動態(tài)演示天平由不平衡變平衡的過程。）

師：減去之后，它們的等量關(guān)系是——

生：3個蘋果的重量=600-150（克）。

…………

生2：還可以把蘋果換成梨。

（課件動態(tài)演示天平由平衡變不平衡的過程。）

師：怎樣讓天平再次平衡？為什么？

生：因為把蘋果換成梨，左邊重了150×2克，要保持天平平衡，右邊也要加上150×2克。

（課件動態(tài)演示天平由不平衡變平衡的過程。）

師：加上之后，它們的等量關(guān)系是——

生：3個梨的重量=600+150×2（克）。

解決相差關(guān)系的假設(shè)問題，是本課教學(xué)的難點所在，原因有兩個方面：一是假設(shè)后的總量變了，原有的等量關(guān)系不成立，需要找到新的等量關(guān)系;二是假設(shè)后數(shù)量關(guān)系變得更加復(fù)雜了，加上數(shù)量關(guān)系本身的抽象性，學(xué)生對數(shù)量的變化較難把握，難以找到新的等量關(guān)系。要突破這個難點，需要強化“天平”這個模型，利用假設(shè)后天平不平衡了，需要找到新的平衡（等量關(guān)系）才能解決問題。同時，利用課件動態(tài)呈現(xiàn)天平由“平衡→不平衡→新的平衡”的過程，可以加深學(xué)生對“等量關(guān)系”以及“如何找到新的等量關(guān)系”的體驗，引導(dǎo)學(xué)生直觀地理解兩邊數(shù)量的變化，從而根據(jù)天平的平衡原理找到新的等量關(guān)系。

環(huán)節(jié)四：比較天平，體驗相等的數(shù)量關(guān)系

師：比較例1和例2，有什么相同的地方？

生1：題目中都有兩種不同的量，而且這兩個量之間存在一定的關(guān)系，這樣的問題適合用假設(shè)的策略把兩種不同的量轉(zhuǎn)化為同一種量來解決。

生2：假設(shè)后都要找到數(shù)量間的相等關(guān)系，也就是找到天平，才能解決問題。

師：例1和例2都是假設(shè)，它們有什么不同的地方？

生：例1是水果的數(shù)量變了，總量沒有變化;例2是水果的數(shù)量沒變，但總量變了。

…………

師：同學(xué)們觀察得真仔細！但是同學(xué)們，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，還要透過這些現(xiàn)象看本質(zhì)。不管怎樣假設(shè)，不管總量變與不變，要解決問題，我們都需要找到什么？

生：要找到平衡的天平，就是假設(shè)后數(shù)量間的相等關(guān)系。

師：對，這是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵。我們看，假設(shè)要利用數(shù)量間的關(guān)系，假設(shè)后又要找到新的數(shù)量間的相等關(guān)系，數(shù)學(xué)就是研究關(guān)系的學(xué)科。數(shù)學(xué)就是這么奇妙，在變與不變中存在著內(nèi)在的聯(lián)系。

如果僅僅從解題的角度，這一環(huán)節(jié)并不重要，甚至可以不要。但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要獲得知識和技能，更重要的是體驗數(shù)學(xué)思想，而要體驗思想，比較、歸納和反思就顯得尤為重要。上述環(huán)節(jié)，我便是在引導(dǎo)學(xué)生從“變”與“不變”中體會數(shù)學(xué)的假設(shè)和守恒思想，感受數(shù)學(xué)之美，從而使他們理解了“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)”這一學(xué)科特質(zhì)。

“天平”這個模型在學(xué)生頭腦中留下了深刻的印象，他們也積累了不少相應(yīng)的活動經(jīng)驗，這種經(jīng)驗對他們今后解決類似的問題具有積極的作用。可以預(yù)見的是，以后遇到相似的場景，他們頭腦中的“天平”就會很容易被激活、喚起并提取出來，進而尋求題目中數(shù)量間的相等關(guān)系來解決問題。

（作者單位：江蘇省常熟市實驗小學(xué)）