基于區間分析的汽車制動器不確定性優化*

呂 輝,于德介

(湖南大學,汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙 410082)

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2015140

基于區間分析的汽車制動器不確定性優化*

呂 輝,于德介

(湖南大學,汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙 410082)

為抑制不確定參數汽車制動器的制動噪聲，基于區間分析理論，將響應面法與優化技術相結合，提出了一種降低系統復模態負阻尼比以提高汽車制動器穩定性的優化方法。該方法采用拉丁超立方試驗設計在設計變量和不確定參數構成的混合空間內采樣，建立了包含不確定參數的制動器系統復模態負阻尼比的響應面近似模型；以系統結構參數為設計變量，以最小化系統復模態負阻尼比為優化目標，利用基于區間分析的不確定性優化方法對響應面近似模型進行優化。對某型車的浮鉗盤式制動器的優化結果表明，采用該方法對汽車制動器進行優化，能在整個使用周期內有效減小制動器不穩定模態的負阻尼比，從而提高制動器的穩定性。

制動噪聲;不確定性;區間分析;優化

前言

汽車制動噪聲已成為城市的主要噪聲污染源之一。如果汽車的制動器設計不合理，制動時就可能引起強烈的振動，并產生刺耳的噪聲。由于在設計后期，制動器產品的結構形狀、尺寸和工藝已確定，修改設計空間的自由度已大大減小，因此在早期設計中，有必要對制動器部件的結構參數進行合理的匹配設計，以抑制制動噪聲，提高整車NVH性能。

目前被國內外大多數學者所認可的制動噪聲機理為系統自激振動理論，根據該理論，制動噪聲是由摩擦耦合和制動器各部件模態參數匹配不當而產生的自激振動所引起的[1]，即制動噪聲與摩擦材料特性和結構的具體形式有關。多年來，國內外學者在制動噪聲控制方面做了大量研究工作。文獻[2]中在建立制動器動力學模型的基礎上，用最優化方法對結構動態特性進行修改，抑制了產生尖叫噪聲的不穩定模態。該研究對制動器的設計有一定的指導意義，但研究對象僅為制動器支撐支架，而單部件優化抑制噪聲的方法在應用上存在一定的局限性。文獻[3]中建立了盤式制動器系統的耦合模型，針對系統幾何參數和材料特性參數的一系列取值，分別求解了制動器的復模態，提出了降低摩擦因數和修改制動片幾何形狀的制動噪聲抑制方法。該研究的主要特點是從復模態負阻尼比的角度進行分析，各部件參數獨立研究，得到的結果只是一個噪聲產生傾向的定性說明。實際上，為充分考慮各部件間的相互耦合關系，有效控制制動噪聲，應對整個制動器系統建立優化模型，并對多部件參數同時進行優化設計。

國內現有的關于制動噪聲的研究，多數是基于確定性的力學模型，即將結構參數和作用載荷視為確定參數[4]。而汽車制動器由于長期承受摩擦力等復雜載荷的作用，其材料特性、幾何尺寸和作用載荷等參數往往具有不確定性，尤其是不斷磨損會引起制動片的厚度尺寸變化。為了使設計得到的優化解能更好地滿足工程實際要求，應在優化設計時考慮不確定因素的影響。對于不確定性問題，大多采用概率方法，把不確定變量作為隨機變量處理，但在工程實際中有時很難提供充分的概率分布信息來描述這些隨機變量，因而限制了基于概率的優化方法在工程中的應用[5-6]。基于區間分析的不確定性優化方法把不確定參數看作區間數，只須獲得參數的上下界信息即可，這些信息在工程實際中也很容易獲得，因此基于區間分析的優化研究在工程中得到了廣泛的應用[7]。

本文中針對汽車制動噪聲的抑制問題，將響應面法與優化技術相結合，對具有不確定參數的汽車制動器進行區間分析優化研究，提出了一種基于區間分析的汽車制動器不確定性優化方法。該方法首先采用拉丁超立方試驗方法在不確定參數和設計變量所構成的混合空間內進行試驗設計；再建立包含區間參數的制動器系統復模態負阻尼比的響應面近似模型；最后以結構幾何參數為設計變量，以減小系統復模態負阻尼比為優化目標，利用基于區間分析的不確定性優化方法對響應面近似模型進行優化，以提高制動器的穩定性。對某型車的浮鉗盤式制動器的分析和優化結果表明，采用該方法對汽車制動器進行優化，能有效減小制動器不穩定模態的負阻尼比，從而提高了制動器的穩定性。

1 汽車制動器噪聲的預測原理

文獻[8]的研究表明，制動器工作時，系統引入了摩擦力，導致系統為一個耦合系統，其運動方程可以表示為

(1)

式中：M，C，K分別為無摩擦制動器系統的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；μ為摩擦因數；Kf為摩擦接觸剛度矩陣；D為振動位移向量。

由式(1)可知，由于摩擦力的存在導致了系統剛度耦合，系統的剛度矩陣不對稱。從數學角度來看，剛度矩陣不對稱意味著特征矩陣不對稱，而不對稱矩陣的特征值在一定條件下是復數。

式(1)的特征方程為

det(s2M+sC+K+μKf)=0

(2)

式中s為系統復特征值，記為

s=a±jb

(3)

式中：a為特征值的實部，是系統的阻尼系數；b為特征值的虛部，是系統的自然頻率。由系統控制理論知，一個系統為穩定系統的充分必要條件為：系統的特征值具有負實部。因此a的正負決定了一個系統的穩定與否。

定義復特征值的阻尼比[3]為

(4)

式中ζ為系統復特征值的阻尼比。如果阻尼比為正，即a<0，則系統是一個衰減振動系統，系統是穩定的；如果阻尼比為負，即a>0，則系統隨著時間推移而放大振動，系統是一個不穩定系統。因此根據制動器系統復特征值的阻尼比來判斷其穩定性。阻尼比值的大小與系統的穩定程度相關，負阻尼比絕對值越大則制動器系統越不穩定，產生噪聲的可能性越大。

因此，在制動器摩擦耦合系統中，具有正實部的特征值對應的模態是不穩定模態，表現為有噪聲傾向的模態。如果采用有限元分析方法求出制動器的復模態和對應的阻尼比，就能對制動噪聲傾向進行預測。本文中以表征系統穩定程度的復模態的負阻尼比為目標函數。

2 汽車制動器的不確定性近似模型

2.1 汽車制動器不確定性因素分析

汽車制動器是由多個部件組成的系統，以盤式制動器為研究對象，主要的部件有制動盤、制動片、支撐背板、絕緣板、卡鉗、分泵和油管等。存在于系統部件中的不確定性因素與制動噪聲的產生有著密切的關系。主要的不確定性因素如下。

(1) 摩擦因數的不確定性 為了方便，多數研究都把制動盤和制動片之間的摩擦因數簡化成一個恒定的數值[4]。雖然目前國內外對制動噪聲的產生機理還未能達成共識，但研究表明：摩擦因數-相對滑動速度曲線的負斜率是產生制動噪聲的主要因素之一[9]。摩擦因數在實際工況中并不是恒定的，受溫度、壓力、濕度和粉塵等因素的影響，摩擦因數會在一定范圍內波動，因此在優化設計中應考慮摩擦因數不確定性的影響。本文中將摩擦因數不確定取值區間定在初始值的±10%范圍之內。

(2) 制動壓力的不確定性 對于盤式制動器，兩個制動片分別裝在制動盤的兩側，分泵的活塞受油管輸送來的液壓作用，推動制動片擠壓轉動中的制動盤，由此產生摩擦阻力而達到減速效果。制動主缸和油路的變化，制動卡鉗所受摩擦力的變動以及分泵活塞密封性的變化等都會引起制動壓力在一定范圍的波動性。本文中將制動壓力不確定取值區間定在初始值的±10%范圍之內。

(3) 制動片磨損的不確定性 制動片作為制動器的主要部件之一，對制動器的振動和噪聲有著重要影響。相對其它部件，制動片是一個易損件，隨著車輛的使用，制動片會不斷磨損。已有研究表明，隨著制動片的磨損，制動器系統的耦合摩擦特性會發生變化，導致出現一些只在磨損狀態下產生的振動或噪聲。因此在制動器的早期設計中必須考慮到制動片的整個使用壽命周期，針對其整個厚度變化過程進行優化設計，而不是只針對某一個確定的厚度值。制動片一般磨損到只剩原來厚度的1/3時進行更換，本文中根據該使用原則及其初始厚度確定其取值范圍。

(4) 制動盤磨損的不確定性 制動盤相對制動片來說其磨損是相當微小的，屬于非易損件，故暫不考慮其磨損情況。

2.2 響應面近似模型

由于對制動器系統模型進行數值計算的時間較長，基于該模型的優化計算，特別是進行嵌套優化計算，每次計算響應值都要調用有限元模型，導致計算效率低下，阻礙了優化算法在制動器系統優化設計中的應用。用近似模型代替真實模型的設計方法，是目前解決大規模抽象模型優化問題的有效方法，可大幅度提高工程優化問題的求解效率。

建立近似模型的基本原理是通過數理統計和試驗設計的方法，建立設計變量和響應值之間的函數關系，用以代替復雜的真實模型。本文中選用響應面法在指定的采樣空間內進行有限次數的試驗設計，以輸出變量的全局逼近來代替真實響應。

假定系統響應與設計變量之間滿足函數關系：

y=g(x1,x2,…,xn)

(5)

式中：y為系統響應；x1,x2,…,xn為n個設計變量。通過試驗設計，系統響應與設計變量確定的函數關系為

y=f(x1,x2,…,xn)

(6)

式中f(x1,x2,…,xn)是對g(x1,x2,…,xn)的近似，其表示的曲面為響應面。

多項式響應面是應用比較廣泛的一種近似模型，它具有數學表達式較為簡單，且易于實現等特點。工程中通常采用二次多項式響應面近似模型，其基本形式為

(7)

式中：c0，ci，cii和cij為待確定的未知系數；n為設計變量個數。

2.3 試驗設計

為了建立有效的近似模型，須借助試驗設計的方法，以獲取足夠多且合適的樣本點。采樣點的選擇不當會導致近似模型的精度低、甚至錯誤，并且會提高構建近似模型的成本。本文中采用拉丁超立方試驗設計方法[10]進行抽樣。其采樣點在采樣空間中分布均勻，可以在相對較少的采樣次數下，獲得充分的信息。因為基于區間分析的不確定性優化的目標函數是設計變量和不確定性變量的函數，所以采樣空間應由設計變量和不確定性變量組成。

2.4 汽車制動器噪聲預測的不確定性近似模型

為減少計算量，同時又能真實準確地模擬制動器的振動特性，利用Altair. Hypermesh軟件建立了某型轎車的制動器有限元模型，如圖1所示。

該模型由制動盤、制動片、支撐背板和絕緣板4部分組成，共有26 125個實體單元，37 043個節點，其中六面體單元(C3D8)25 041個，五面體單元(C3D6)1 084個，制動片與制動盤之間為摩擦接觸面，整個系統為一個摩擦耦合系統，各部件材料特性參數見表1。該模型的制動片前期已經過中部開槽和邊緣倒圓角等工藝處理，噪聲傾向性已較小，但還不能完全消除。將定義好邊界條件和工況的有限元模型提交ABQUS/Standard即可求解系統的復模態和阻尼比。

表1 制動器部件材料參數

文獻[3]中的研究表明，在盤式制動器系統中，摩擦因數、制動壓力、制動盤轉速、制動盤剛度、制動片剛度和支撐背板剛度這些設計參數都與系統的不穩定模態有關，但制動盤轉速和制動壓力對不穩定模態的影響極小，因此選取制動盤剛度和制動片剛度參數為設計變量，選取摩擦因數、制動壓力和制動片剛度參數為不確定性變量。其中制動片、制動盤和支撐背板的剛度特性分別通過其幾何厚度參數間接體現。

根據制動器部件的規格和不確定特性，制動器設計變量和不確定參數的初始值和取值范圍如表2所示。采用拉丁超立方試驗設計方法，選取了35組由摩擦因數μ、制動壓力p、制動片厚度h1、制動盤厚度h2和支撐背板厚度h3組成的樣本點。

將試驗設計中得到的35組樣本點代入到制動器系統有限元模型中進行計算，得出其相應的不穩定模態及其負阻尼比。通過有限元計算，發現系統對應各組樣本點的第6，7階模態均為復模態，其中第7階模態的復特征值實部大于0，為不穩定模態；

表2 試驗設計采樣空間

個別樣本點還在其它階數上出現復模態，但其復特征值的負阻尼比值都遠比第7階模態的負阻尼比值小；因此本文中主要對第7階模態進行研究。初始狀態下，制動器的第6，7階模態的復特征值分別為-97.088+1962.2j和97.088+1962.2j。第7階復模態的負阻尼比為-0.015 75，振型圖如圖2所示。

以第7階復模態為研究對象，根據第2.2節的方法，建立以摩擦因數μ、制動壓力p、制動片厚度h1、制動盤厚度h2和支撐背板厚度h3為自變量的制動器系統負阻尼比的近似模型。基于2階多項式響應面模型建立的負阻尼比的近似表達式為

ζ(μ,p,h1,h2,h3)=-0.0463-0.2046μ+

0.0598p+0.0004h1+0.0101h2-0.0138h3-

0.2431μp+0.0038μh1-0.0023μh2+0.0169μh3-

0.0293ph1+0.0159ph2+0.0028ph3-0.0007h1h2+

0.0005h1h3+0.0004h2h3+0.3908μ2+0.0159p2+

(8)

根據文獻[10]中的方法對上述響應面模型進行顯著性分析，由F檢驗結果知響應面模型的不可靠概率小于1%，與真實有限元模型的逼近程度高，能夠較好地滿足預測精度要求。

3 基于區間分析的不確定優化理論

基于區間分析的系統不確定性優化問題，一般可表述為

(9)

式中：f為包含設計變量和不確定參數的目標函數；gi為第i個不確定約束函數；k為不確定約束的個數；X為n維設計向量；U為不確定向量；上標L和H表示區間的下界和上界。

利用區間數理論中的區間序關系對區間進行比較，則式(9)的不確定優化問題可轉化為式(10)的多目標優化問題：

(10)

式中：m(f(X,U))為目標函數區間的中點；ω(f(X,U))為目標函數區間的半徑；fL(X)和fH(X)分別由式(11)得出：

(11)

至此，通過區間序關系轉換，將式(9)的不確定優化問題轉化為式(10)的多目標確定性優化問題。為方便后續求解，采用線性加權法將式(10)進一步轉化為一單目標優化問題：

β(ω(f(X,U))+λ)/ψ

(12)

式中：fd為單目標評價函數；β為權重系數，其取值范圍為0≤β≤1；λ為保證m(f(X,U))+λ和ω(f(X,U))+λ非負的常數；φ和ψ為各目標函數的正則化因子：

(13)

實際應用中，上述兩個參數可以根據具體問題，大致取與各自目標同一量級的值即可，以防止“大數吃小數”的現象發生。

本文中采用罰函數方法來處理不確定優化問題的約束條件，使其轉化為單目標無約束優化問題，式(12)可寫為

β(ω(f(X,U))+λ)/ψ+

(14)

式中：σ為懲罰因子，通常取一個較大的值，當不滿足約束條件時將受到懲罰，使搜索保持在可行域內。

4 基于區間分析的制動器不確定性優化

制動器系統不確定優化的目的是使制動器在其整個使用壽命周期中不穩定模態的負阻尼比盡可能小，從而提高制動器系統的穩定性，降低制動噪聲產生的可能性。本文中以第2.4節的盤式制動器系統為研究對象，以式(8)表述的不穩定模態的負阻尼比ζ(μ,p,h1,h2,h3)為目標函數，以設計變量取值范圍為約束條件，得到制動器系統的不確定優化問題的數學模型：

(15)

在區間不確定性優化方法中，將區間中點和區間半徑視為同等重要，則式(14)中權重系數β=0.5。取參數λ=0.1，則式(15)最終可表示為

(16)

其中

(17)

采用隔代遺傳算法對上述目標函數進行優化。隔代遺傳算法是在微型遺傳算法的基礎上加入隔代映射算子。隔代映射算子是用來沿著連續兩代中最好個體的方向上，尋找更好的個體，以代替當前代中最差的個體[11]。隔代遺傳算法不僅繼承了微型遺傳算法種群規模小、基因多樣性和全局優化的特點，而且提高了收斂速率。

首先，外層遺傳算法在制動盤厚度h2和支撐背板厚度h3組成的設計空間內尋優，對于每個所取的設計向量進入內層遺傳算法，在不確定摩擦因數μ、制動壓力p、制動片厚度h1組成的不確定參數空間內搜索，通過計算響應面近似模型ζ(μ,p,h1,h2,h3)確定目標函數響應的上下界，進而得到目標函數響應區間的中點和半徑。把內層優化結果反饋給外層優化算法，以幫助外層算法繼續尋優，直到滿足停止準則輸出最后的設計變量作為優化結果。整個優化流程如圖3所示。

最后的優化結果為，在不確定參數作用下，當h2=21.8mm，h3=7.5mm時，制動器系統不穩定模態的負阻尼比區間為[-0.015 3,-0.003 7]，不確定區間中心為-0.009 5，區間半徑為0.005 8。以區間中點來說，優化后的負阻尼比值比優化前降低了39.7%，即使為最不利情況，即負阻尼比為-0.015 3，也比優化前降低了2.9%。

將優化后的結果h2=21.8mm，h3=7.5mm以及不確定參數的一組初始取值：μ=0.35，p=0.5MPa，h1=11mm代入有限元模型分析計算，結果顯示第7階模態復特征值為69.736+2029j，負阻尼比為-0.010945，在優化結果區間內，振型如圖4所示，并且除了第7階模態外，其余全部均為穩定模態，制動器系統整體穩定性大幅提高。

5 結論

(1) 在參數不確定性的基礎上，結合區間分析理論，將響應面法與優化技術相結合，應用遺傳算法，對汽車制動器系統進行優化。該方法在對制動器系統設計參數進行尋優的同時，還考慮了實際工況部分參數的不確定性，從而使設計得到的優化解能更好地滿足工程實際要求。

(2) 對某型車的浮鉗盤式制動器的分析和優化結果表明：采用該方法對汽車制動器進行優化，能有效提高優化設計結果的穩健性，使制動器在其整個使用壽命周期中不穩定模態的負阻尼比盡可能小，從而提高制動器的穩定性，減小制動噪聲產生的可能性。

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Uncertainty Optimization of Vehicle Brakes Based on Interval Analysis

Lü Hui & Yu Dejie

HunanUniversity,StateKeyLaboratoryofAdvancedDesignandManufacturingforVehicleBody,Changsha410082

To suppress the noise of vehicle brakes with uncertain parameters, an optimization scheme by reducing the negative damping ratio of the complex mode of brake system to improve the brake stability is presented based on the theory of interval analysis and combining response surface method with optimization technique. The scheme adopts the Latin hypercube design of experiment to conduct sampling within the mixed space formed by design variables and uncertain parameters and create a response surface approximation model for the negative damping ratio of the complex mode of brake system with uncertain parameters. With the structural parameters of brake system as design variables and minimizing the negative damping ratio of its complex mode as optimization objective, an optimization is performed on response surface approximation model with an uncertainty optimization scheme based on interval analysis. The results of the optimization on the float caliper disc brake of a vehicle show that the optimization on vehicle brakes using the scheme presented can effectively reduce the negative damping ratio of unstable mode of brake system in entire life cycle, and hence improve the stability of brakes.

brake noise; uncertainty; interval analysis; optimization

*湖南省研究生科研創新項目(CX2013B143)，湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室自主課題(71375004)和長沙市科技計劃重大專項(K1306007-11-1)資助。

原稿收到日期為2012年9月17日，修改稿收到日期為2015年6月15日。