張寶珍，阿米爾，肖思俊

(湖南大學,汽車車身先進設計制造國家重點實驗室,長沙 410082)

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2015124

基于區間不確定性的前懸架多目標可靠性優化*

張寶珍，阿米爾，肖思俊

(湖南大學,汽車車身先進設計制造國家重點實驗室,長沙 410082)

為減小懸架定位參數在車輪跳動過程中的變化量，以改善整車的操縱穩定性，減小輪胎的磨損，提出了一種考慮不確定性因素的前懸架不確定性多目標優化方法。首先，在Adams/Car中建立某車轎麥弗遜式前懸架模型，并運用Adams/Insight進行懸架設計硬點參數的靈敏度分析。然后，利用基于薄板樣條插值的高維模型描述技術構建了設計變量和不確定變量與目標函數之間的近似模型。最后，針對該近似模型運用雙層嵌套的改進非支配排序遺傳算法和隔代遺傳算法進行多目標不確定性優化與可靠性優化，得到Pareto最優解集。結果表明，優化后懸架主要定位參數在車輪跳動過程中的變化量有不同程度的減小，說明整車的操縱穩定性有所改善。

懸架；不確定性優化；高維模型描述；多目標優化；可靠性優化；遺傳算法

前言

麥弗遜獨立懸架具有結構簡單、非簧載質量小、發動機與轉向系容易布置、適合同多種形式的彈簧相匹配和能實現車身高度的自動調節等優點[1]。但其主銷軸線的位置在減震器與車身鉸鏈中心和橫擺臂與轉向節鉸鏈中心的連接線上。當懸架變形時，主銷的軸線會隨之改變，而引起前輪定位參數與輪距的相應改變，而且變化量可能很大。目前研究對懸架的優化大多屬于確定性優化，即在對懸架動特性進行優化時，車輛其他結構參數和動力學參數都固定不變。不確定性分析與優化是近年來國內外工程領域的研究熱點。近幾十年來，國內外許多學者都致力于發展非概率的不確定性建模手段，并在此基礎上提出了相應的非概率不確定性優化方法和理論，從而使不確定性優化問題得以方便、經濟地求解[2-5]。懸架剛度和輪胎徑向剛度等參數隨著汽車行駛環境和工況的改變而在一定范圍內不確定性變動，會影響懸架系統的功能，從而會使車輛懸架系統優化過程中引入不可忽略的系統參數不確定性[6-7]。

工程優化問題中，對于基于真實模型的嵌套優化，每次計算目標函數值都要調用費時的計算模型，而利用近似模型可以有效地解決這一問題[8]。目前，已經取得廣泛應用的一些近似方法如響應面法、Kriging插值等，在處理低維和線性問題時都得到了很好的效果。而對于復雜的模型，隨著維數和非線性程度的增加，構造近似模型所需的樣本點和計算花費呈指數增長，使解決此類問題的計算效率大大降低[9]，且這些近似模型近似非線性問題時的精度不高。針對這一問題，文獻[10]和文獻[11]中證明了可積函數可以分解為不同維數函數的疊加理論，這一理論表明，對于任意一個可以積分的函數f(x)，在其積分空間內存在唯一的可以擴展的高維模型,這一模型是精確的，有確定的階數。

本文中利用高維近似模型來提高優化效率與精度，運用不確定性優化方法，選取懸架螺旋彈簧剛度和輪胎徑向剛度為不確定性量，將NSGA-II和IP-GA結合起來優化與改進相關懸架設計參數，對某轎車懸架定位參數進行不確定性多目標優化，以提高整車的操縱穩定性。

1 區間數不確定性優化與可靠性

1.1 不確定性優化模型的描述

在實際工程問題中，由于材料、幾何特性、邊界條件、制造與裝配誤差和使用環境等因素造成的誤差互相耦合，可能使系統響應產生較大的偏差。本文中將螺旋彈簧剛度和輪胎徑向剛度看作不確定量，其變動范圍通過區間表示，只須知道參數的上界、下界，這種描述稱為區間數描述[8]。利用區間描述參數的不確定性，則一般形式的非線性區間數優化問題的數學表達式可示為

(1)

在本文中利用區間序關系將不確定性的優化轉化成確定性的優化的主要內容是將不確定性的目標函數轉化成確定性的目標函數。針對任何設計向量X，因不確定向量U的存在且f為U的連續函數,f(X,U)的取值范圍是一個區間：

fI(X)=[fL(X),fR(X)]=[fc(X),fw(X)]

(2)

其中：

可以通過目標函數的中點和半徑值來判斷不同設計向量之間的優劣：設計向量X1優于X2，則X1處的目標函數區間優于X2處的目標函數區間，即

fc(X1)≤fc(X2),fw(X1)≤fw(X2)

則式(1)中的不確定目標函數可以轉化為如下的確定性多目標優化函數問題：

(3)

1.2 可靠性模型

由于實際應用中不確定性的廣泛存在，所以在問題求解時，為得到更好的求解精度，須考慮各種類型的不確定因素[12]。設不確定參數：

XI=[XL,XR]={X|XL≤X≤XR}

(4)

式中XL、XR分別為不確定變量的下界和上界。本文中的不確定量取螺旋彈簧的剛度和輪胎的徑向剛度。對于一組不確定的變量x={x1,x2,…,xn}，根據結構的失效準則，可以求得其結構失效函數：

M=g(x)=g(x1,x2,…,xn)=R-S

(5)

式中：R為引起失效的應力；S為抵抗失效的強度。

當g(x1,x2,…,xn)為x的連續函數時，M同樣為一區間變量，設其均值和半徑分別為Mc和Mr，則其可靠度指標為

η=Mc/Mr

(6)

按照可靠性理論，g(x)=0稱為失效面，它將結構的空間分為失效域和安全域兩部分，當g(x)>0時，認為結構處于安全狀態。當η>1時認為結構是可靠的，該值越大表明結構的安全程度越高。

2 高維模型與遺傳算法

2.1 高維模型(high dimensional model represen-

tations, HDMR)描述 高維模型為一種近似模型，可以將計算時間隨非線性程度和維數增加按指數增長的隱函數轉化為可以忽略高階耦合項的多項式函數，并揭示了每個設計變量對近似函數的貢獻量，得到一組顯式函數表達式，大大減少了計算時間。同時反映了輸入變量之間固有的線性或非線性關系及其相關性，有效地解決了非線性問題。設待求問題的設計變量可行域為An，則輸出函數f(x)∈R與輸入變量x∈An之間的映射關系可用HDMR[13-14]表示：

(7)

式中：f0為函數在中心點的函數值，后面依次為不同階耦合項對函數的貢獻量,耦合項可用薄板樣條插值函數近似得到。

2.2 薄板樣條函數

薄板樣條函數是一種插值函數，是自然樣條函數在多維空間的推廣，可以表示多維空間曲面，在各學科均有廣泛應用[15]。薄板樣條插值函數的形式為

(8)

式中：‖…‖表示范數；φ為徑向基函數，其形式為φ(r)=r2log(r)，ri2=(x-xi)2+(y-yi)2；b0、b1、b2、ci為常數項系數，i=1,…,n。對于簡單的1階情況，函數的形式為

(9)

2.3 不確定優化算法

運用區間數將不確定性優化目標函數轉化為確定性優化問題后是一個兩層嵌套的優化問題，其外層的優化用來對設計向量進行尋優，而內層的優化用來計算不確定的目標函數和約束的區間。由于雙層嵌套優化的存在，轉化后的優化問題通常是非連續且不可導的[16]，所以基于梯度的傳統的優化方法很難對此有效求解。

由于NSGA-II具有求解Pareto解集準確和分散性好的優點[17]，本文中外層采用在NSGA-II搜索架構的基礎上加入精英保持策略，同時考慮遺傳算法在子代個體中會出現重復個體，從而加大選優的工作量，在優化程序中又加入了去除重復個體算法的程序，這樣，所采用的外層優化方法可更好地保持解的多樣性，同時提高全局尋優能力和收斂速度。

內層優化算法采用隔代遺傳算法(IP-GA)，這是小種群遺傳算法μGA的改進形式。μGA從傳統的GA擴展而來，它不會過早收斂，搜索能力比傳統的GA更強。為保證基因多樣性，用重啟策略取代變異操作，只要當前代符合收斂度要求，就隨機產生相同規模的一個種群，而且新種群中會包含上一代中的最優個體。IP-GA在μGA的算法中增加了IP操作算子，通過對連續兩個子代中的最優個體進行算術交叉運算以獲取更優個體，進而大大提升收斂速度。

3 前懸架參數分析

3.1 前懸架虛擬樣機模型的建立

根據某乘用車參數，在ADAMS/Car中建立該車帶轉向系統的麥弗遜前懸架虛擬樣機仿真模型，如圖1所示。

3.2 定位參數靈敏度分析

在建立優化近似模型前首先要對各個設計參數進行靈敏度分析，把靈敏度高的參數確定為設計變量，然后再建立優化近似模型。首先，在ADAMS/Car中進行前懸架兩側車輪同向跳動的試驗，然后以此為基礎在ADAMS/Insight模塊中以2階響應面的D優化設計方法進行試驗設計，最后再返回到Car模塊進行迭代仿真。圖2～圖5為靈敏度分析結果。

由靈敏度分析結果可知：減震器上安裝點坐標、減振器下端點坐標、下控制臂外支點坐標、彈簧下安裝點坐標和下擺臂后安裝點坐標硬點值的改變對前輪定位參數值的影響相對較大，以這15個參數為設計因子在ADAMS/Insight中再次進行試驗設計。

4 近似模型的建立與可靠性驗證

z(xi,yi)=vi

(10)

得到等式：

(11)

式中：Kij=φ(‖(xi,yi)-(xj,yj)‖)；N的第i行為(1,xi,yi)；b=(b0,b1,b2)T；O為3×3的零矩陣；0為3×1的零矩陣；c和v分別為由ci和vi構成的列向量；i,j=1,…,n。

由式(11)即可求出式(8)中各系數值，從而得到不同階耦合項對近似模型的貢獻量。通過本文算法構建的高維近似模型的相對誤差見表1，從工程應用角度看，該模型的精度已經足夠，可以用于后續的優化設計。

表1 近似模型的精度判斷

5 前懸架不確定性優化

5.1 決策變量和不確定性變量的選取

通過3.2節中的靈敏度分析，選取車輪跳動過程中對定位參數影響較大的硬點值作為優化變量，并分別記作x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11,x12,x13,x14,x15，同時懸架螺旋彈簧的剛度和輪胎的徑向剛度參數會隨著車輛行駛環境和工況的改變而在不確定性的范圍內變動，本文的優化過程中考慮了這兩個不確定性因素對懸架系統功能造成的影響。

考慮前懸架參數各個硬點位置空間布置的要求及整車行駛平順性和操作穩定性對硬點位置的要求，得到優化變量的空間。

懸架螺旋彈簧的剛度和輪胎的徑向剛度隨使用環境和工況的改變而在不確定性的范圍內變動。汽車的許多重要性能都與輪胎力學特性有關，輪胎的剛度特性對整車性能有極其重要的影響，在進行整車性能分析時，輪胎的剛度特性參數是必不可少的，研究表明，在汽車使用過程中輪胎變形程度、充氣壓力、激勵頻率、磨損和使用溫度的變化等因素對輪胎徑向剛度的影響較大[19]；懸架螺旋彈簧在汽車行駛過程中，會承受高頻的往復壓縮運動，能起緩沖和減震的作用，其質量的好壞，對車輛的平穩性和安全性有非常重要的作用,它的性能取決于整機的要求,必須滿足整機的質量特性。螺旋彈簧的熱處理硬度在HRC43～48之間，由于硬度和剛度存在較強的線性關系，廠家通常給出其名義剛度值及其允許的變化范圍[20]。本文在某轎車前懸架優化過程中，將輪胎徑向剛度和螺旋彈簧剛度看作不確定量，其變動范圍通過區間來表示，只須知道參數的上、下界，這種描述稱為區間數描述。根據相關實驗和資料，前螺旋彈簧剛度由于制造誤差和行駛工況條件的瞬時變化，不確定性水平選為5%，輪胎的徑向剛度由于使用過程中溫度的改變和輪胎氣壓的不穩定等因素，選取不確定性水平為8%，分別記為x16，x17。

5.2 目標函數的建立

本文中優化的目的是減小車輪定位參數在車輪跳動過程中的變化量，從而增加整車的操縱穩定性和減小輪胎磨損。在前輪的4個優化定位參數中，主銷內傾角和主銷后傾角的主要作用是產生回正力矩即減小車輪轉向過程中的操縱力。車輪的前束角是為適應車輪的外傾角而設定的參數，用來減小車輪的磨損。根據以上各個參數之間關系的分析，把前輪的定位參數分成2組，主銷后傾角和主銷內傾角為一組、車輪前束角和車輪外傾角為一組，通過加權的方法把每組整合成一個目標函數，則優化過程簡化為

f1=w1y1+w2y2

(12)

f2=w3y3+w4y4

(13)

式中：wi為各個目標函數的權重系數。為方便本次優化計算，考慮各分目標函數對操縱穩定性和輪胎磨損速度的影響，本文中采用直接加權法選取權重系數。根據前面的仿真實驗分析，確定各目標函數的取值范圍，計算各目標函數的容限和權重系數。

經過加權組合后，車輪的4個定位參數優化問題轉化為對車輪的轉向節定位和主銷定位兩個目標的優化問題，系統的優化模型可表示為

(14)

5.3 計算流程

本文中將加入精英保持策略和去除重復個體的非支配排序遺傳算法(NSGA-II)和隔代遺傳算法(IP-GA)結合起來，在近似模型的基礎上，以式(14)為優化目標，對前輪定位參數進行不確定性優化。首先，外層NSGA-II在懸架各硬點參數組成的設計空間內尋優，對于每個所取的設計向量進入內層IP-GA，在螺旋彈簧剛度和輪胎徑向剛度組成的不確定參數空間內搜索，通過計算近似模型確定目標函數響應的上下界，進而得到目標函數響應的平均值。把內層優化結果反饋給外層優化算法，以幫助外層算法繼續尋優，直到滿足停止準則，則輸出最后的Pareto最優解集，優化流程如圖6所示。

由于得到的Pareto最優值的范圍比較廣泛，且不能進一步確定最優值大體的范圍和結構的可靠度，為了更好地在Pareto前沿面中選擇出最優解，引入可靠度作為最優解集的約束條件，進行進一步的比較計算，可靠度作為內層優化來實現約束，由式(6)得到安全系數，為保證懸架具有較高的安全性能，安全系數取值η=5，將符合可靠度的定位參數值輸出，不符合的屏蔽掉，進行更進一步的目標尋優。為對比加入可靠度作為約束時對最優解的影響，將可靠度約束前后輸出的Pareto最優解集進行對比，圖7為加入可靠度前后的最優解集。

由圖7可知，A點與D點分別為f1和f2的極小點，在AB段，f1的很小變化會引起f2的極大變化；在CD段，f2的很小變化就會引起f1的極大變化，這對決策者來講，這兩個區間都不是最好的選擇區間，一般決策者都從變化比較平緩的BC段來選擇最優點。對多目標優化的問題，往往不可能讓每個目標同時取得最優值，只能在各目標之間進行協調權衡和折中處理，盡可能使每個目標接近最優。為了使f1和f2盡可能取最優值，本文中取比較平緩的BC線段的中點：

f*=(f1,f2)=(60.67,88.76)

對應響應值的設計變量：X=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11,x12,x13,x14,x15,x16,x17)=(38.09,-652.13,529.05,8.92，-732.87，-63.44，-12.98，-801.32，-261.94，21.69，-715.14，264.41，431.39，-437.95，-187.5959，53.64，236.74)mm。

5.4 優化結果分析

把不確定性優化得到的最優硬點值重新帶入ADAMS中仿真，得到各優化目標優化前后的對比，如圖8～圖12和表2所示。

表2 優化前后目標變量變化對照 (°)

由圖8～圖11和表2可知，不確定性優化后，除主銷后傾角外，車輪跳動過程中前束角、主銷內傾角、主銷后傾角和車輪外傾角的變化量均有所減小。而由圖12可見，優化后車輪跳動過程中輪距的變化也稍有減小，且在允許的范圍內。總體而言，通過對前懸架的優化，整車的操縱穩定性能得到一定的改善。

6 結論

本文中在前懸架動力學模型的基礎上構建了設計變量和不確定變量與目標函數之間的高維近似模型，代替真實的動力學模型，在滿足精度的前提下，大大減少了優化計算時間。針對不確定性轉化為確定性后的雙層嵌套優化問題，提出了將NSGA-II和IP-GA結合起來求解前懸架優化問題，提高了解的收斂速度和質量，節省了時間。在不確定性優化的同時，引入可靠度的概念，將其作為優化的約束條件，可以很好地保證Pareto最優解集中解的安全系數。最后,在Pareto解集中針對性地選取合適的解的優化組合，重新帶入Adams中與優化前的結果進行對比，結果體現了此次不確定性多目標優化的優越性，達到了兼顧安全性和實用性的目的，具有一定的理論和工程實際意義。

[1] 陳家瑞.汽車構造(下冊)[M].北京:人民交通出版社,1995.

[2] 戎曉霞.不確定優化問題的若干模型與算法研究[D].濟南:山東大學,2005.

[3] 吳崇輝.某清掃車車架結構分析及相關問題研究[D].長沙:湖南大學,2011.

[4] Wieslaw B, Pawel D, Tadeusz N, et al. Application of Composites to Impact Energy Absorption[J]. Computational Materials Science,2011,50:1233-1237.

[5] Lee H W, Lee G A, Yoon D J, et al. Optimization of Design Parameters Using a Response Surface Method in a Cold Cross-wedge Rolling[J]. Journal of Materials Processing Technology,2008,201:112-117.

[6] 崔勝民,余群.汽車輪胎行駛性能與測試[M].北京:機械工業出版社,1995.

[7] 郭孔輝,劉青.穩態條件下用于車輛動力學分析的輪胎模型[J].汽車工程,1998,20(3):129-134.

[8] 姜潮.基于區間的不確定性優化理論與算法[D].長沙:湖南大學,2008.

[9] 趙子衡,韓旭,姜潮.基于近似模型的非線性區間數優化方法及其應用[J].計算力學學報,2010,27(3):451-456.

[10] Sobol I M. Sensitivity Estimates for Nonlinear Mathematical Models[J]. Mathematical Modeling and Computational Experiment,1993,1(4):407-414.

[11] Shan Songqing, Wang G Gary. Metamodeling for High Dimensional Simulation-based Design Problems[J]. Journal of Mechanical Design,2010,132(5):1-36.

[12] Moore R E. Methods and Applications of Interval Analysis[M]. London: Prentice-Hall Inc,1979.

[13] Li G, Wang S W, Rosenthal C, et al. High Dimensional Model Representations Generated from Low Dimensional Data Samples. I.mp-Cut-HDMR[J]. Journal of Mathematical Chemistry,2001,30(1):1-30.

[14] Rabitz H, Al1s? F. General Foundations of High-dimensional Model Representations[J]. Journal of Mathematical Chemistry,1999,3(25):197-233.

[15] Konak A, Coit D W, Smith A E. Multi-objective Optimization Using Genetic Algorithms: A Tutorial[J]. Reliability Engineering and System Safety,2006,91:992-1007.

[16] Sardinas R Q, Santana M R, Brindis E A. Genetic Algorithm-based Multi-objective Optimization of Cutting Parameters in Turning Processes[J]. Engineering Applications of Artificial Intelligence,2006,191:127-133.

[17] Deb K, Pratap A, Agarwal S, et al. A Fast Elitist Non-dominated Sorting Genetic Algorithm for Multi-objective Optimization: NSGA-II[R]. Kanpur: Indian Institute of Technology, Kan GAL Report 2001,2000,6(2):182-197.

[18] Gianluca D, Serge B. Approximation Methods for Thin Plate Spline Mappings and Principal Warps[C]. Lecture Notes in Computer Science,2002:21-31.

[19] 陳棟華,靳曉雄.輪胎剛度和阻尼非線性模型的解析研究[J].中國工程機械學報,2004,2(4):408-412.

[20] 戴君.基于四分之一車輛模型的具有隨機結構參數車輛的隨機動力分析[J].振動與沖擊,2010,29(6):211-215.

Multi-objective Reliability Optimization of Front SuspensionBased on Interval Uncertainty

Zhang Baozhen, Amir & Xiao Sijun

HunanUniversity,StateKeyLaboratoryofAdvancedDesignandManufacturingforVehicleBody,Changsha410082

In order to reduce the change of alignment parameters of suspension in the process of wheel bouncing and hence improve the handling stability of vehicle and reduce tire wear, a multi-objective uncertainty optimization scheme for front suspension is proposed with consideration of the effects of uncertainty. Firstly a MacPherson front suspension model for a car is built with Adams/Car and a sensitivity analysis on the design hard-point parameters of suspension is conducted by using Adams/Insight. Then an approximate model between design variables, uncertain variables and objective functions is constructed by utilizing the technique of high dimensional model representation based on thin plate spline interpolation. Finally double-nested IP-GA and modified NSGA-II are applied to perform multi-objective uncertainty optimization and reliability optimization on the approximate model built with Pareto optimal solution set obtained. The results show that after optimization the changes of most alignment parameters of suspension in the process of wheel bouncing are reduced to different extents, meaning certain improvement in vehicle handling stability.

suspension; uncertainty optimization; high dimensional model representation; multi-objective optimization; reliability optimization; genetic algorithm

*教育部長江學者與創新團隊發展計劃項目(531105050037)和國家高技術研究發展計劃(863計劃)項目(2012AA111802)資助。

原稿收到日期為2013年10月8日，修改稿收到日期為2014年1月3日。