正確實施化歸 優化解題策略

陳朝華

在解數學問題時，我們經常遇到一些問題直接求解較為困難，通過仔細審題、認真觀察、分析、類比、聯想等思維過程，選擇運用恰當的數學方法并進行變換，經常可以將原問題轉化為一個已知知識范圍內容易解決的問題，達到解決原問題的目的，這一思想方法稱為化歸與轉化思想.

化歸與轉化思想的實質就是揭示聯系，實現轉化。可以說除了簡單的數學問題以外，每一個數學問題的解決都是通過轉化為已知問題來實現的。從某種意義上來說，數學的解題過程就是從未知向已知，從復雜到簡單的化歸與轉化過程。化歸與轉化思想是解決數學問題的根本思想，數學中的轉化比比皆是。如，未知向已知轉化，不規范問題向規范問題轉化，復雜問題向簡單問題轉化，新知識向舊知識轉化，命題之間的轉化，數與形的轉化，空間與平面的轉化，多元向一元轉化，無理向有理轉化，高次向低次轉化，函數、方程、不等式之間的轉化等等，都是轉化思想的體現.

我們學習化歸方法的根本目的是為了有效地解決數學問題，并在解決問題的過程中培養自己的數學思維能力，從而促進自己數學思維的發展.

一、熟悉化原則：將陌生的問題化歸為熟悉的問題，以便運用熟悉的知識、經驗來解決

分析：這是學生陌生的問題。首先點M在圓C1上運動，點N在圓C2上運動，點P又在x軸上運動。三者都在動，很難上手。如果我們能考慮到曲線C1，C2是軸對稱圖形，于是我們可以先計算出PC1+PC2的最小值。結合幾何意義容易發現將這個最小值減去兩個圓的半徑之和，即可得到PM+PN的最小值。這樣問題又轉化為在x軸上找一點P，使得PC1+PC2，最小，這便是我們初中熟悉的問題了.

先求PC1+PC2的最小值.

二、直觀化原則：將比較抽象的數學問題化歸為形象直觀的問題來解決

例2.（2014·鎮江一模）在平面直角坐標系xOy中，已知點P（3，0）在圓C：x2+y2-2mx-4y+m2-28=0內，動直線AB過點P且交圓C于A，B兩點，若△ABC的面積的最大值為16，則實數m的取值范圍為

數與形的和諧統一，往往使解題更生動，用數形結合方法解題，關鍵是幾何模型的建立，以及有關幾何性質的熟練掌握，學生在平時要加強這方面的訓練.

三、簡單化原則：將復雜的問題化歸為簡單的問題，通過對簡單問題的解決，達到解決復雜問題的目的，或者獲得解決某種復雜問題的解題啟示和依據

例3.若橢圓上存在點P，使得點P到兩個焦點的距離之比為2∶1，則此橢圓離心率的取值范圍是

分析：這個問題似乎比較難下手，如果設點P到兩個焦點的距離分別為k，2k，則k+2k=3k=2a與焦距2c的關系無法確定，這時就要考慮簡單情況——特殊情況橢圓上距離焦點最近距離為a-c，最遠距離為a+c，再利用三角形兩邊之差小于第三邊來解.

分析：雙曲線是對稱圖形（中心對稱與軸對稱），利用雙曲線的定義可得AF2=AF1-2a，

AP+AF2=AP+AF1-2a的最小值，于是三點F1，A，P共線是最小.

解析：AP+AF2=AP+AF1-2a，要求AP+AF2的最小值，

分析：在正項等比數列{an}中，因為a1a1，從而得到q1006>1，q>1，∴數列{an}是遞增數列，如果試圖通過對數列求和，問題的求解就變得相當棘手。如果能利用等比數列和諧性質：對于任意的正整數m，n，p，q，當m+n=p+q時總有am+an=ap+aq成立來解，問題就變得簡單多了.

化歸與轉化思想方法是中學數學解題中的一種重要的、基本的思想方法，這方面能力的高低可以看出一個人解題的素質、掌握知識的程度和運用知識的能力。學生在學習解題過程中要刻意滲透，不僅要注意提高數學教學質量的近期效果，而且要努力提高自己分析問題與解決問題的能力，培養自己素養的遠期作用.

總之，化歸與轉化思想貫穿于中學數學解題的始終，化歸與轉化的方法精彩紛呈、不勝枚舉！學生必須深刻理解化歸與轉化的精髓，把握化歸與轉化的方法.只有這樣，才能進一步提高分析問題和解決問題的能力.

編輯 薛直艷