空間向量在立體幾何中的幾種應用

■河南省鄭州市第四高級中學 李 亞

題型一 利用向量法證明空間的平行和垂直關系

例1(2021年全國甲卷理數)如圖1,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側面AA1B1B為正方形,|AB|=|BC|=2,E,F分別為AC和CC1的中點,D為棱A1B1上的點。BF⊥A1B1。

圖1

(1)證明:BF⊥DE;

(2)當|B1D|為何值時,平面BB1C1C與平面DFE所成的二面角的正弦值最小?

分析：第一問,用常規方法證明較為復雜,建立合適的空間直角坐標系,借助空間向量求解非常簡捷。第二問,利用空間向量求二面角的平面角是最常規的方法,也是最優方法。

解：(1)因為三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以BB1⊥底面ABC,且BB1⊥AB。

因為A1B1//AB,BF⊥A1B1,所以BF⊥AB。

又BB1∩BF=B,故AB⊥平面BCC1B1。

所以BA,BC,BB1兩兩垂直。

以B為坐標原點,分別以BA,BC,BB1所在直線為x軸,y軸,z軸 建 立空間直角坐標系,如圖2。

圖2

則B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,2),C1(0,2,2),E(1,1,0),F(0,2,1)。

由題意設D(a,0,2)(0≤a≤2)。令z=2-a,則m=(3,1+a,2-a)。

題型二 利用向量法求異面直線所成角

例2在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是 等 腰 直 角 三 角 形,,P是 線 段A1B1上的動點,則當線段CP最短時,異面直線AC1與BP所成角的余弦值為( )。

解析：在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是等腰直角三角形,所以,

以點C為坐標原點,以CA,CB,CC1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立圖3 所示的空間直角坐標系。

則A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,0),A1(2,0,4),B1(0,2,4),C1(0,0,4)。

因此,當線段CP最短時,異面直線AC1與BP所成角的余弦值為,選A。

題型三 利用向量法解決線面角問題

例3(2022年全國甲卷理數)如圖4,四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,CD//AB,|AD|=|DC|=|CB|=1,|AB|=2,|DP|=。

圖4

(1)證明:BD⊥PA;

(2)求PD與平面PAB所成角的正弦值。

分析：(1)作DE⊥AB于E,CF⊥AB于F,利用勾股定理證明AD⊥BD,根據線面垂直的性質可得PD⊥BD,從而可得BD⊥平面PAD,再根據線面垂直的性質即可得證;

(2)以點D為原點建立空間直角坐標系,利用向量法即可得出答案。

解：(1)解題過程略。

(2)如圖5,以點D為原點,以DA,DB,DP為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系。

圖5

題型四 利用向量法解決二面角問題

例4(2023年新課標Ⅰ卷)如圖6,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=2,|AA1|=4。點A2,B2,C2,D2分別在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,|AA2|=1,|BB2|=|DD2|=2,|CC2|=3。

圖6

(1)證明:B2C2//A2D2;

(2)點P在棱BB1上,當二面角PA2C2-D2為150°時,求|B2P|的值。

分析：(1)建立空間直角坐標系,利用向量坐標相等證明;(2)設P(0,2,λ)(0≤λ≤4),利用向量法求二面角,建立方程求出λ即可得解。此題一改以往直接求解二面角的相關問題,明顯對逆向思維能力的考查有所提升,重點考查同學們的邏輯推理能力。

解：(1)以C為坐標原點,分別以CD,CB,CC1所 在 直 線 為x軸,y軸,z軸,建 立空間直角坐標系,如圖7。

圖7

則C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),A2(2,2,1)。

化簡可得λ2-4λ+3=0,解得λ=1或λ=3,故P(0,2,1)或P(0,2,3),|B2P|=1。

題型五 利用向量法求點到直線的距離

例5如圖8,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,以頂點A為端點的三條棱長都是a,且AB⊥AD,∠A1AB=∠A1AD=60°,E為CC1的中點,則點E到直線AC1的距離為( )。

圖8

題型六 利用向量法求異面直線的距離

例6如圖9,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是邊長為的正三角形,|AA1|=,頂點A1在底面的射影為△ABC的中心,P,Q分別是異面直線AC1,A1B上的動點,則P,Q兩點間距離的最小值是( )。

圖9

分析：建立空間直角坐標系,P,Q兩點間距離的最小值即為異面直線AC1與A1B間的距離。

解：如圖10,O是△ABC的中心,A1O⊥平面ABC,AO?平面ABC,故A1O⊥AO。

|AB|=2,則,則

故選D。

題型七 利用向量法求點到平面的距離

例7如圖11,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,側面PAD是邊長為2的正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,且AB⊥PD。

圖11

(1)求證:平行四邊形ABCD為矩形;

(2)若E為側棱PD的中點,且平面ACE與平面ABP所成角的余弦值為,求點B到平面ACE的距離。

分析：(1)取AD中點M,連接PM,由正三角形、面面垂直的性質易得PM⊥平面ABCD,再由線面垂直的性質及判定定理證AB⊥AD,即可得結論;(2)構建空間直角坐標系,設|AB|=t＞0,并求平面ACE、平面ABP的法向量,結合面面角的余弦值求參數,應用向量法求點面距。

解：(1)證明過程略。

(2)如圖12,以A為原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立空間直角坐標系,設|AB|=t＞0,則A(0,0,0),B(t,0,0),C(t,2,0),P(0,1。

圖12