初中數學教學中有關折疊問題的解題研究

暢英英

(山東省德州市禹城市房寺鎮中學 251200)

數學是一門非常嚴謹的學科，它有很多的想象和聯想的空間.著名的數學家希爾伯特就說過：數學最重要的就是想象力.看到一道數學題，你應該能馬上聯想到它的相關公式和解題步驟.而中學的折疊問題是最能鍛煉和體現學生想象力的，抽象的東西也是可以具體化的，老師帶著孩子們親手折疊出各種各樣的圖形，體驗折疊的特點，觀察圖形折疊后的變化與未變化部分，深入尋找并發現圖形的幾何性質，借此引導學生們去了解并解決折疊問題.將折疊問題教好，學好，都是不容忽視的.由淺入深，解決折疊問題大概可以分為三個步驟：即通過折疊實驗，在腦中形成個思維模型；再綜合學過的基本圖形，鍛煉學生的思維方式；然后結合平面直角坐標系解決折疊問題.

一、通過折疊實驗，形成思維模型

數學學習給人的印象大多數是死板的，它不像語文那樣可以較為自由的發揮，數學公式是不可以改變的，初中生也很難獨自親身去推導計算出數學公式.初中數學的學習，一般是采用學習公式、理解公式、應用公式的方法.折疊就比較特殊了，它涉及到了圖形變換，學生們也能親自動手實驗，而圖形變換是比較靈活有趣的，會讓學生們提起濃厚的學習興趣.親自動手去發現、去探索、去解決問題，會讓我們有種置身其中的參與感，感覺到數學“活了起來”，感覺到它離我們那么近.通過折疊和觀察而不是枯燥的計算去解決數學題，會讓學生感到極大的新鮮感，滿足感和成就感，對數學的學習更加充滿興趣.

涉及到折疊，就離不開動手和觀察了.拿到一道有關折疊問題的題目，首先就應該分析它的題目要求，然后按照題目要求去折疊出相應的圖形，最后將圖形畫在草稿紙上，慢慢地熟練了之后，就可以在腦海里形成相應的圖形，省去動手操作這一過程了.這是學習折疊問題的難點，特別是對于那些想象力較為薄弱的學生，但是也是必須要鍛煉出來的能力.在以后的學習生活中，這一能力還會繼續頻繁的被使用到，而且還會需要不斷地擴展和加深.下面，我們舉例說明一下.

例1 如圖1所示,將一個三角形紙片ABC沿過B的直線折疊,使點C落在AB邊上的點E處,折痕為BD,則下列結論一定正確的是( ).

圖1

A.AE=ACB.CB+AE=AB

C.AD=BDD.ED+EB=DB

這是一道特別基礎的折疊問題，圖形和題目都比較簡單直觀，容易讓學生理解.對于這個圖形，老師可以讓同學們動手折一折，然后用折疊后的圖形對比題目給出的圖形，發現其中的等量關系.通過一次次的折疊，同學們應該不難發現，折疊是一種軸對稱變換,它屬于軸對稱,根據軸對稱的相關性質,折疊前后圖形的形狀和大小不會改變,位置變化了,對應的邊是相等的.折痕所在的直線作為對稱軸，它將變換前后對應的點所連成的線段垂直平分，對稱軸上的點到對應點的距離大小相等.

對照本題圖像，可以看出來，圖1是由三角形ABC的邊CB沿著BD翻折之后得到的.邊CB落到了邊AB上，直線BD是三角形BDC和三角形BDE的對稱軸，點E為點C的對應點,線段BC=BE,線段CD=ED.

對于選項A和選項C,線段AE與AC題目并沒有給出明確的關系，線段AD與BD題目也沒有給出明確的關系，所以無法判斷這兩個選項的對錯；對于選項B，通過折疊的特點，我們已經知道線段BC=BE，所以線段CB+AE就可以等價代換為EB+AE,顯然線段EB+AE=AB，所以可以得出CB+AE=AB，B選項正確；對于D選項，線段ED、EB、DB正好為三角形BDE的三邊，由三角形的相關性質可以知道，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，所以ED+EB>DB，D選項錯誤.所以，這道題的正確答案是B.

只要懂得了折疊前后圖形的等量關系，再結合勾股定理的內容，解決這類題型就易如反掌了.

二、綜合基本圖形，鍛煉思維方式

折疊問題一定都是和幾何圖形相聯系的，通過例1可以看出，推理找出簡單圖形中的幾何關系其實很簡單，但是一般題目中給的圖形都相對復雜，一個例圖里會包含多個幾何圖形，自然就有了多對幾何關系.這就要求我們考慮到多組等量關系，不同等量關系間的聯系和搭配，以及發掘很多隱藏的已知條件.題目的靈活性也就大大提高了，難度也相應地有所增加.細心尋找幾何關系的同時，也需要我們具備一種整體意識，這樣才能保證不漏掉信息.有時，也是需要憑借直覺的，這種直覺也是要通過反反復復的練習，才能在遇到題的時候，直接感知到應該尋找和利用到的關系.

例2 如圖2所示,一張矩形紙片沿BC折疊,頂點A落在點A′處,再過點A′折疊，使折痕DE∥BC,若AB=4,AC=3,則三角形ADE的面積是____.

圖2

這道題屬于中等難度，除了要掌握像例1那樣折疊問題里的軸對稱的幾個特性以外，還需要知道證明兩個三角形相似，以及利用三角形相似的幾個性質：如果兩個三角形相似，那么兩個三角形對應的邊邊長成比例，對應的角相等.相似三角形的面積比等于相似比的平方.

圖3

如圖3，沿BC折疊,頂點A落在點A′處,直線BC作為一條對稱軸，根據對稱的性質，可以得到BC垂直且平分線段AA′；可以得到AF=1/2AA′，又因為DE//BC,可以得到三角形ABC和三角形ADE相似,相似比為1∶2.再根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，可以求出三角形ADE的面積為24.

三、結合坐標系，解決折疊問題

前面說過，涉及到折疊問題的考題在卷面分中一般的比例為有十分之一，它之所以可以占有這么大的分數比例，是因為它這一種題型里可以融入多種之前學過的知識.例如:勾股定理、相似三角形、全等三角形……除此之外，它還可以放到空間直角坐標系中，將其與函數融合..在平時的課堂上，老師應該注重培養學生對題目的獨立思考分析和理解能力，并多講授一些綜合性較強的折疊問題，讓學生們逐漸適應這種考察方式.

圖4

例3 如圖4所示,把矩形OABC放置在直角坐標系中,OA=6.OC=8,若將矩形折疊、使點B與O重合,得到折痕EF.

(1)可以通過____辦法，可以使四邊形AEFO變到四邊形BEFC的位置(填“平移”，“旋轉”，“翻轉”)；

(2)求E點的坐標；

(3)若直線m把矩形OABC的面積分成相等的兩部分,則直線m必經過點的坐標是____.

根據題意可得,對于第(1)小題，矩形OABC是中心對稱圖形,而這道題的折痕EF與對角線OB交點O應該是矩形OABC的對稱中心,所以可以通過旋轉的辦法得到.

對于第(2)小題，應該連結OE,根據折疊的特性可以知道，OE=BE,解直角三角形OAE就可以知道AE=7/4,所以E點坐標為(6，7/4).

對于第(3)小題，由第(1)小題分析可知,對稱中心應為折痕與對角線交點，過這個點做兩坐標軸垂線段，再由三角形中位線性質可求出對稱中心坐標為(3，4)

折疊問題是中學重點考察的內容，學生和教師都應該重視它.教師應該根據自己班級學生的實際情況，制定有效的教學方法，引導同學們學習折疊問題，培養學生獨立思考及分析問題的能力，以及對幾何圖形的空間想象能力，力求讓每位學生都掌握解決這類題目的方法.