連續統上連續映射f 的動力性質

王雅珺 唐亞林 黃日娣 張更容

（廣西大學 數學與信息科學學院，廣西 南寧 530004）

1 預備知識

設 f: X →X 為連續映射，其中X 為拓撲空間，映射f 的周期點、回歸點、ω 極限點等定義如文獻[2,3,4]。它的周期點集，回歸點集分別記作 P ( f ) ,R ( f )，點x 的ω 極限點集記作 ω ( x, f)。

引理1[2]設J 為I 的子區間，它不包含f 的周期點，如果 x ,y ∈ J,對某些 m, n ＞ 0，存在 fm( x ) ∈ J ， fn( y )∈J ，則若x ＜ fm(x)，有 y ＜ fn( y)；若 x ＞ fm(x)，有 y ＞ fn( y)。

引理2[2]設f 是線段I 的一個連續自映射，則f 的每一個回歸點或者是周期點或者是周期點的聚點。從而，和分別為 P ( f )和 R ( f )的閉包。

由f 一致連續，存在 δ ∈ (0,ε )使得當 d (u ,v )＜ δ時有 d ( f (u ), f (v ))＜ ε。由我們可取點。于是。從而.即有，這與矛盾。因此不存在連續映射 f :S → S使得。

2 定理及其證明

證明：任取 J ? L1且 x, y ∈ J，存在 m, n ＞ 0有 fm( x ) ∈ J , fn( y )∈ J 。

不妨設 x ＞Sfm(x )，令 g = fm，則.若則 gk+1(x ) ＞Sg (x)，如若不然，gk+1(x ) ≤Sg (x)。

(1) gk+1(x ) = g ( x )，則x 為 gk的不動點，與矛盾；

(2) gk+1(x ) ＜Sg (x)，

① gk+1(x ) ＜Sx ＜Sgk(x ) ＜Sg (x)，則，所以在 ( x, gk(x ))S中存在g 的不動點，與矛盾。

② x ＜Sgk+1(x ) ＜Sgk(x ) ＜Sg (x ),則，所以在中存在 gk的不動點，與矛盾。

因此（1）與（2）可知對任意 k ≥ 1 ， gk( x )＞Sx ，取k = n，則 fmn(x )＞Sx。

若 y ＜Sfn( y )，同理可得 fmn( y )＜Sy，則，所以[ x, y ]S中存在 fmn的不動點，與假設矛盾，因此，J 為單向區間。

定理2 設 f :S → S是一個連續映射，則f 的周期點集的閉包與回歸點集的閉包相等，即

證明：由引理3，我們分三種情況討論

由于 P1( F ) ? R1( f)，欲證 R1( f )? P1( f)，需證。假設若存在 x ∈ V ∩ R1( f )，則 x ∈ R1( f)，則對任意 ε ＞ 0，存在 n1＞ 0使得，所以 x ＜Sfn1(x)令因為 x ∈ R1( f)，所以存在 n2＞ 0使得d ( fn2(x ), x )＜ δ，從而 n2＞ n1且 fn2( x ) ＜Sfn1(x).令，則對y ∈ J, fm( y )＜ y,與V 為正型區間矛盾，所以，所以，所以。

②設 g :[0 ,1)→ L2既是單射且是滿射的連續映射，取 f':[ 0,1) → [0, 1)連續自映射，使得 g ? f =f'? g ，因此 x'∈ [0,1)是的一個周期為n 的點當且僅當 x = g ( x')是f 的一個周期為n 的周期點， R ( f ) = g ( R ( f'))。由引理2 得，，所以。

[1]Nadler S B Jr.continuum Theory[M].New York:Marcel Dekker,Inc,1992.

[2]Block L,Coppel W A.Dynamics in one dimension.Lecture Notes in Mathematics No.1513,Berlling Springer,1992.

[3]張景中,熊金城.函數迭代與一維動力系統[M].成都:四川教育出版社,1992.

[4]廖公夫,王立冬,范欽杰.映射迭代與混沌動力系統[M].北京:科學出版社,2013.