在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維

葉美娟

（湛江財貿中等專業(yè)學校，廣東 湛江 524094）

創(chuàng)造性思維是指在前人已取得的成果的基礎上，不依常規(guī)，尋求變異，想出新方法，建立新理論，從多方面尋求問題解決方法的開放式思維方式。在數(shù)學教學中，對學生進行創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)，是發(fā)展學生數(shù)學思維的更高要求，是實施素質教育的核心任務。

一 誘發(fā)學生的抽象思維

抽象思維是透過事物的現(xiàn)象，深入事物的里層，把同類事物的共同本質抽取出來加以考察的思維方式。抽象思維是在分析和比較的基礎上進行的，只有通過分析、比較，弄清了諸事物的共同本質之后，才有可能把它們的本質屬性抽取出來。

在數(shù)學教學中，我們常常發(fā)現(xiàn)，如果教師直接對學生給出那些抽象的概念、定理、公式，教學效果總是不太理想，這時只有先引導學生的思維從形象思維出發(fā)，逐步誘發(fā)上升到抽象思維，才能使學生更有效地掌握知識。下面通過實例說明這一點：

例1：在教學《軸對稱和軸對稱圖形》時，教師首先在一張紙上畫出一條直線L 和一個三角形△ABC，然后沿直線L 對折，用一根針戳穿A、B、C 三點，在直線L 的另一側留下三個對應的小孔，標為A′、B′、C′，連接三個小孔，得到△A′B′C′，問學生△ABC 和△A′B′C′有什么關系呢?導出軸對稱定義后，提出作軸對稱圖形的方法，是不是每次都對折呢?并讓學生自己在紙上動手試一試。

本例通過直觀教學和實踐活動，不但激發(fā)了學生的學習興趣，而且給了學生具體形象的感知，使學生能通過觀察、分析、比較、推理等抽象思維過程，較容易地抓住軸對稱的本質，提出點A 與A′、B 與B′、C 與C′是關于直線L的軸對稱點。

因此，通過直觀因素來解決抽象問題，用形象思維來誘發(fā)抽象思維。不但激發(fā)了學生的學習興趣，而且提高了學生的觀察和概括能力，促進了學生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。另方面，由于數(shù)學問題的發(fā)現(xiàn)或提出問題過程，一般是從具體問題出發(fā)，經(jīng)過類比、聯(lián)想或觀察、實驗、歸納等途徑形成命題或加以確認的。為此，在基礎知識技能的教學中，應展示數(shù)學思維過程，引導學生觀察、類比，最終形成抽象概括，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。

例2：在講完“一元二次方程的解法一一直接開平方法”后，教學“用配方法解一元二次方程”時，我先復習舊課，用直接開平方法解下列方程：

(1)16 X2－49=0

(2)(X+3)2=2

讓學生做完后，提出新問題：解方程x2+6X+7=0

在讓學生發(fā)現(xiàn)如何解答上題的問題中，學生將復習題(2)的方程的左邊展開并整理后得出的方程與方程X2+6X+7=0比較，發(fā)現(xiàn)方程(x+3)2=2 與方程X2+6X+7=0 實質上是同一個方程，只是形式不同，可以展示把方程X2+6X+7=0 變成(x+3)2=2 的思維過程。

同時讓學生練習：

X2+6X+口=(X+口)2

X2—5X+口=(X－口)2

X2+4／3X+口=(X+口)2

X2—5／2X+口=(X 一口)2

引導學生觀察、類比，啟發(fā)歸納得出X2+KX+(K／2)2=(X+K／2)2并總結得出配方法則。于是解方程X2+6X+7=0：

把方程常數(shù)項移到右邊得：X2+6X=﹣7

在方程的兩邊各加上一次項系數(shù)一半的平方得：X2+6X+32=﹣7+32

于是得：(X+3)2=2…

這樣，學生就不難抽象概括出用配方法解一元二次方程的方法：先把常數(shù)項移到方程的右邊，再把左邊配成完全平方式，如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法求出它的解，從而培養(yǎng)了學生的創(chuàng)造性思維能力。

二 培養(yǎng)學生的發(fā)散思維

數(shù)學是一門邏輯性強、科學性強、有著高度抽象性的學科，而創(chuàng)造性思維的源泉是發(fā)散思維。發(fā)散思維是指從同一來源材料探求不同答案的思維過程。它具有流暢性、變通性和創(chuàng)造性的特征。在創(chuàng)造性思維過程中，發(fā)散思維是創(chuàng)造思維的核心，而加強發(fā)散思維能力的訓練是培養(yǎng)學生創(chuàng)造思維的重要環(huán)節(jié)。根據(jù)現(xiàn)代心理學的觀點，一個人創(chuàng)造能力的大小，一般來說與他的發(fā)散思維能力是成正比例的。

在數(shù)學教學中，通常是教師因材施教，按照單向思維方式從題目的條件和結論出發(fā)，聯(lián)想到已知的公理、定理、公式和性質。只從單方面思考問題、解決問題，雖然這種方式是解決問題的基本方法，但是長期按照這種方式去思考問題，就會使學生形成“思維定勢”，嚴重地制約了學生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。因此，教師應盡量多地設計一題多思、一題多解、一題多變，啟發(fā)學生的發(fā)散思維，使學生思路暢達，創(chuàng)造性思維更加活躍。

正因為數(shù)學題目具有可變性，所以思考的途徑不同，解決的方法自然也不同。在例題教學中，引導學生廣開思路，探求多種解法，在發(fā)散思維的同時，比較各種解法的優(yōu)劣，找出最佳的、新穎的或巧妙的解法，可以激發(fā)學生的創(chuàng)造性思維。

例3：已知a+b=1，a>0，b>0，求1／a+1／b 的最小值。

根據(jù)本題的結構特征，可以從三角、數(shù)列、不等式、方程、函數(shù)、幾何以及常數(shù)更換等各種背景下進行一題多思，從而一題多解，而且通過比較，尋求最佳解法。例如1／a+l／b=(1／a+l／b)×(a+b)≥4(常數(shù)更換)可能是解決此類問題的最佳方法。

例4：在二次函數(shù)這一節(jié)教學中，設計探究題：已知二次函數(shù)的圖象頂點是(1，﹣3)且經(jīng)過P(2，0)，求這個函數(shù)解析式。學生從不同的角度考慮，經(jīng)過探索有四種不同的解法：

①設為一般式，用頂點坐標公式和F 點坐標得到三元方程組；

②設為頂點式；

③根據(jù)二次函數(shù)的圖象拋物線的對稱性可知，由對稱軸x=l 得P 點的對稱點p(0，0)，這樣有三個已知點，設為一般式；

④P(2，0)，P′(0，0)是拋物線與x 軸的兩個交點，故可設為交點式y(tǒng)=a(x－0)(x－2)。

與此同時，在解題過程中，不要滿足于把題目解答出來便完事大吉，而應向更深層次探求它們的內在規(guī)律。我們可以變化題目的條件、結論或條件結論同時作些變化，配成題組，從而加深對題目之間規(guī)律的認識。看下面的例子：

例5：AB 為過定橢圓左焦點F 的弦，求AB 中點G 的軌跡方程。

該題可以引導學生利用多種方法求解，解后比較其利弊，進行一題多變。進而可以提出問題：我們已經(jīng)學過了二次曲線的有關知識，大家能否運用有關知識，將上述題目進行改編？

學生通過討論，得出了以下一些問題：

①將題中的“橢圓”分別改為“雙曲線”、“拋物線”，求相應的軌跡；

②將題中的“左焦點”改為“一定點”，“橢圓”分別改為“雙曲線”、“拋物線”，求相應的軌跡；

③將題中的結論改為“求弦AB 的一個定比分點的軌跡”；

④將題中的“橢圓”分別改為“雙曲線”、“拋物線”，結論改為“求弦AB 的一個定比分點的軌跡”；

⑤將“定點的弦”改為“定向的弦(即平行)或具有定長的弦，求弦的中點的軌跡”。此外，還可以引導學生提問以上各問題用什么方法求解，其最佳方法是什么?

由此可見，從多角度、多層次地引導學生處理問題，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，不僅增強了學生總結、歸納、概括、分析問題的意識和能力，而且培養(yǎng)了學生思維的靈活性、變通性、創(chuàng)造性。

楊振寧先生說過，加強發(fā)散思維的訓練，是培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維的重點工程。新時期學生的自我意識較強，他們常有自己的新看法、新思想，在數(shù)學方面，常表現(xiàn)為思維的發(fā)散性。在教學中，我常采取各種手段，如啟發(fā)誘導、實踐活動、多媒體演示等引導他們發(fā)展思維、開拓思路，從不同的角度去分析、解決問題，有利于創(chuàng)新思維的訓練。

三 善用學生的逆向思維

正向思維是從題設的已知條件出發(fā)，按條件的先后順序和常規(guī)的思路去研究某一數(shù)學問題。而逆向思維正好相反，就是倒過來想問題，也就是先由問題的結論出發(fā)，進而推到問題條件的思維過程。

在數(shù)學教學中，學生對于概念、定理、公式、法則等，往往習慣于從正面看、正面想、正面用，極易形成思維定勢。因此，在解決新問題時，學生往往受這種思維定勢的消極影響，感到束手無策，寸步難行。所以，在重視正向思維的同時，要善用學生的逆向思維，“反其道而行之”，破除正向思維定勢的束縛。

如何善用學生的逆向思維呢?一是重視概念、定理、公式、法則的反方向教學；二是強調一些基本方法的逆用：從局部考慮不易，是否能整體處理；一般情況下不好辦，考慮特殊情況；前進有困難，退一步如何；“執(zhí)果索因”與“由因到果”兩方面尋找解決途徑；直接證明不行，則考慮用間接證法等等。

例6：若函數(shù)y=f(x)的圖象上的每一點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長到原來的2 倍，然后再將整個圖象沿x 軸向左平移π／2 個單位，沿y 軸向下平移1 個單位后所得圖象與y=1／2sinx 的圖象相同，求f(x)的表達式。

本題若按常規(guī)思維，從正面求解，應設f(x)的解析式，顯然較繁。不妨引導學生逆向解題，一是可以培養(yǎng)逆向思維能力，二是解題過程簡單明了。具體過程如下：

y=l／2sinx→y=l／2sinx+1→y=1／2sin(x－π／2)+1→y=l／2sin(2x－π／2)+1

可見，運用逆向思維，從反面考慮問題，彌補了單向思維的不足，使學生突破傳統(tǒng)的思維定勢，從而大大啟動了學生的創(chuàng)造性思維。

四 注重學生的直覺思維

直覺思維是解題過程中，對結果或解題途徑往往先作大致的估計(估量)或猜測。“學起于思，思源于疑”，在教學中，教師應大膽鼓勵學生質疑、猜想，有意識地注重學生的直覺思維，逐步學會猜測、想象等非邏輯思維，以開發(fā)學生的創(chuàng)造性思維。

例7：在《二項式定理》的教學中，不必由教師直接給出結論，可以設計學生自主活動，嘗試發(fā)現(xiàn)，大膽猜測的過程，讓學生觀察(a+b)2，(a+b)3，(a+b)4和(a+b)5的展開式，從而探索(a+b)n展開式的規(guī)律，然后給予嚴格的邏輯證明。如果直接給出公式結論，雖然也能使學生理解，達到記憶的目的，但兩種處理方法，看似一樣，實際效果卻大相徑庭。因為在這個過程中，不僅調動了學生的邏輯思維，而且調動了學生的直覺思維，引導學生經(jīng)歷了由直覺發(fā)現(xiàn)到邏輯證明的對問題的解決過程，極大地誘發(fā)了創(chuàng)造性思維。

事實證明，很多著名的數(shù)學定理就是經(jīng)過先猜想后證明得出來的。在教學中，學生的猜想、直覺可以是錯誤的或者是可笑的，但只要其思想有一點可以借鑒的地方，就要鼓勵和支持學生勇于創(chuàng)新的精神，并把它引導啟發(fā)到正確的數(shù)學思想方法上來，切不可挖苦、嘲笑學生的錯誤，扼殺學生進行創(chuàng)造性思維的積極性。

五 構建學生的整體思維

整體思維是整體原理在教學中的反映。在數(shù)學解題時，要引導學生的思維不一定集中在問題的個別部分，有時要將問題看作是一個整體，并且通過研究問題的整體形式、整體結構或作種種整體處理后，構建整體思維，以達到順利而又簡捷地解決問題的目的。

例8：求cos80οcos60οcos40οcos20ο的值。

根據(jù)本題結構，可聯(lián)想到倍角公式2sinαcosα=sin2α，于是把整個乘積看成是一個整體，可由“連鎖反應”即通過分子、分母都乘以8sin20ο多次運用倍角公式來解，顯得更為簡潔。

例9：在三棱錐P—ABC 中，三組對棱分別相等，且PA=13，PB=14，PC=15，求其體積。

本題如果按常規(guī)方法是求底面積和高，底面積易求，但求高較困難。如果引導學生考慮已知條件：三組對棱分別相等，可聯(lián)想到長方體相對面不平行的對角線也具有這種特征，從而可以構建一個長方體，即把三棱錐補成一個長方體，這樣題目便簡便多了。

可見，數(shù)學題目靈活多變，解題時只局限于問題局部.往往是“只見樹葉，不見森林”達不到良好的效果，而及時地構建整體思維。反而使題目迎刃而解，達到事半功倍的效果。

最后，由于創(chuàng)造性思維是在一般思維的基礎上發(fā)展起來的，因此，在數(shù)學教學中，必須充分重視形象思維和抽象思維，發(fā)散思維和集中思維，正向思維和逆向思維以及直覺思維和整體思維的培養(yǎng)。要通過具體解決數(shù)學問題的鉆研，讓學生領會數(shù)學的思維方法。在數(shù)學教學中，每講一單元，一個章節(jié)的內容，都要引導學生對所學知識的融會貫通，舉一反三，從而提高學生學習數(shù)學的創(chuàng)造性思維能力。

總之，思維是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的基礎，而思維的靈魂在于它的創(chuàng)造性，學習數(shù)學不只是掌握現(xiàn)成的公式、定理，更重要的是掌握科學的思維方法。本人通過實踐的數(shù)學教學，深深認識到思維方法對發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的重要性。因此，在實踐教學中，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，對于實施素質教育及提高學生自身素質，進而把學生培養(yǎng)成社會需要的高素質人才，去迎接未來激烈競爭的世界及新科技革命的挑戰(zhàn)，都無疑是十分重要的。

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