田忌賽馬與一次性博弈

丁立新

田忌賽馬可以通過(guò)博弈論來(lái)解讀，具體案例如下：

“齊使者如梁，孫臏以刑徒陰見(jiàn)，說(shuō)齊使。齊使以為奇，竊載與之齊。齊將田忌善而客待之。忌數(shù)與齊諸公子馳逐重射。孫子見(jiàn)其馬足不甚相遠(yuǎn)，馬有上、中、下輩。于是孫臏謂田忌日：“君弟重射，臣能令君勝。”田忌信然之，與王及諸公子逐射干金。及臨質(zhì)，孫臏日：“今以君之下駟與彼上駟，取君上駟與彼中駟，取君中駟與彼下駟。”既馳三輩畢，而田忌一不勝而再勝，卒得王干金。于是忌進(jìn)孫臏于威王。威王問(wèn)兵法，遂以為師。”出自《史記》卷六十五：《孫子吳起列傳第五》

田忌與齊威王賽馬，田忌的馬分上中下三等，齊威王的馬也分上中下三等，比賽時(shí)齊威王的上等馬對(duì)田忌的上等馬，齊威王的中等馬對(duì)，齊威王的下等馬對(duì)田忌的下等馬，結(jié)局是3比0負(fù)。如果齊威王的最差的馬也比田忌最好的馬跑得快，那么比賽毫無(wú)懸念，這里有一個(gè)信息就是，田忌的上等馬比齊威王的中等馬強(qiáng)，田忌的中等馬齊威王的下等馬強(qiáng)。如果知道了這個(gè)信息就有可能進(jìn)行新的組合。勝者用1表示，負(fù)者用0表示。

第一次賽馬用圖示表示如下（組合1）：

齊威王 田忌 結(jié)局（田忌）

上等馬——上等馬0

中等馬——中等馬0

下等馬——下等馬0

第二次賽馬用圖表示如下（組合2）：

齊威王 田忌 結(jié)局（田忌）

上等馬——下等馬0

中等馬——上等馬1

下等馬——中等馬1

我們把所有的組合羅列如下：

從田忌的角度，齊威王出上等馬的時(shí)候，田忌的對(duì)應(yīng)有3種，分別可以出上等馬、中等馬和下等馬，田忌獲勝的可能是0.

如果齊威王出中等馬的時(shí)候，田忌的對(duì)應(yīng)有3種，分別可以出上等馬、中等馬和下等馬，田忌獲勝的可能是1次或者說(shuō)是三分之一，前提是由田忌的上等馬應(yīng)對(duì)。

如果齊威王出下等馬的時(shí)候，田忌的對(duì)應(yīng)有3種，分別可以出上等馬、中等馬和下等馬，田忌獲勝的可能是2次，或者說(shuō)是三分之二，前提是田忌的上等馬對(duì)應(yīng)齊威王的下等馬或田忌的中等馬對(duì)應(yīng)齊威王的下等馬。

以上的第二次賽馬對(duì)田忌來(lái)說(shuō)是最佳組合，還可以有羅列以下幾種組合：

組合3：

齊威王 田忌 結(jié)局（田忌）

上等馬——上等馬0

中等馬——下等馬0

下等馬——中等馬1

組合4：

齊威王 田忌 結(jié)局（田忌）

上等馬——下等馬0

中等馬——中等馬0

下等馬——上等馬1

組合5：

齊威王 田忌 結(jié)局（田忌）

上等馬——中等馬0

中等馬——上等馬1

下等馬——下等馬0

從田忌賽馬的博弈中我們可以得到的啟示是，即使自己沒(méi)有優(yōu)勢(shì)的資源，只要有相對(duì)的優(yōu)勢(shì)仍然可以取勝。一個(gè)人是這樣，一個(gè)企業(yè)是這樣，一個(gè)國(guó)家也可以是這樣。反過(guò)來(lái)，即使有絕對(duì)的優(yōu)勢(shì)如果措施不當(dāng)也可能失敗。

中國(guó)的乒乓球比賽，從前發(fā)生過(guò)一些讓球事件，目的是讓最強(qiáng)的中國(guó)選手（相對(duì)于外國(guó)選手）來(lái)對(duì)付外國(guó)的選手，如果在半決賽時(shí)都是中國(guó)選手，那么就可以人為確定哪一個(gè)勝出，并不是通過(guò)比賽結(jié)果確定，也就是有一個(gè)人必須輸，那么，勝出的人對(duì)外國(guó)選手勝出的幾率增大。

進(jìn)一步論述，假設(shè)有A、B兩個(gè)中國(guó)選手進(jìn)入半決賽，外國(guó)的選手為c已經(jīng)確定。A與B比賽的歷史記錄是A失敗的幾率大，但是A與c的比賽歷史記錄獲勝的幾率大而B(niǎo)獲勝的歷史記錄幾率小。

如果比較A與B

B>A

如果A、B、c三者比較

A>C

B

在這種情況下，如果事先讓球的話，勝率明顯增大，是一個(gè)理想選擇。這是從球隊(duì)的整體利益或國(guó)家的整體利益看的。但是對(duì)于讓球者就失去了機(jī)會(huì)，雖然他獲勝的幾率小，但是并不是沒(méi)有，這也有悖于體育精神。如果從純粹的理論來(lái)看，讓球者如果能分享最終的比賽成果可能會(huì)公平一些。在體育比賽中適當(dāng)?shù)氖褂貌┺牡姆椒úo(wú)不可。

在軍事上集中優(yōu)勢(shì)兵力有的也可以歸為博弈。明末明朝的軍隊(duì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)地大于清的兵力，明分五路進(jìn)攻清，清則集中兵力對(duì)應(yīng)明的一路大軍，最后清沒(méi)有失敗。

從田忌賽馬的案例中會(huì)給我們很多啟示，但是，這個(gè)案例是不能重復(fù)的，非重復(fù)博弈，也就是說(shuō)只能用一次。從案例中，田忌知道齊威王每次出什么馬，也就是說(shuō)對(duì)于田忌信息是對(duì)稱的，對(duì)于齊威王來(lái)講信息就不是對(duì)稱的了，也就是說(shuō)每次比賽齊威王知道自己出什么馬卻不知道田忌出什么馬。田忌可以根據(jù)齊威王的出馬情況決定自己出什么馬，比賽的規(guī)則明顯對(duì)田忌有利。

如果改變規(guī)則，由田忌先出馬，如果齊威王也了解田忌馬的等級(jí)，那么田忌必輸無(wú)疑。從利益最大化的角度看，齊威王肯定要求田忌先出馬。如果彼此雙方都不了解對(duì)方馬的等級(jí)，隨機(jī)出馬，比賽的結(jié)果只能服從概率分布了。在體育比賽、戰(zhàn)爭(zhēng)及商業(yè)，了解信息是十分必要的，可以改變自己的不利地位。

目前也仍然有賽馬，規(guī)則已經(jīng)不是用田忌賽馬時(shí)的規(guī)則了，每方出一匹馬，跑在前面即獲勝。田忌賽馬作為一次性博弈不能重復(fù)，但是也不能說(shuō)這樣的博弈沒(méi)有意義。畢竟是孫臏發(fā)現(xiàn)了制度（游戲規(guī)則）的漏洞取得了比賽的勝利。從另一個(gè)角度看，對(duì)制度也是一個(gè)完善的過(guò)程。戰(zhàn)爭(zhēng)與企業(yè)的經(jīng)營(yíng)亦然。軍事家就是發(fā)現(xiàn)敵人的漏洞而采取對(duì)策。企業(yè)家發(fā)現(xiàn)市場(chǎng)的缺陷而采取行動(dòng)。很多成功是不能復(fù)制和重復(fù)的，這就是一次性博弈的魅力。