談談裂項求和常考題型

■河北省張家口市第二中學 王 瀟

數列求和歷來是高考考查的重點內容,裂項法是求和的重要方法之一,這里重點介紹幾種不常見的裂項求和題型,希望能幫助同學們深刻理解這種方法的思想。

裂項相消法的實質是:把數列的通項拆成兩項之差,即數列的每一項都可按此法拆成兩項之差,在求和時一些正負項相互抵消,于是前n項的和變成首尾若干項之和。

常用裂項形式有:

例2 已知數列{an}的前n項和為Sn,且滿足Sn=2（an-1）（n∈N*）。

（1）求數列{an}的通項公式;

（2）設bn=ln an（n∈N*）,試求數列

解析：（1）因為Sn=2（an-1）,所以當n=1時,S1=2（a1-1）=a1,解得a1=2。

當n＞1時,Sn-1=2（an-1-1）,所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,故an=2an-1。

所以{an}是以2為首項,以2為公比的等比數列,an=2n。

（2）bn=ln 2n=nln

2,所以bn+2=（n+2）·ln 2。

在利用裂項相消法求和時應注意:

（1）在把通項裂開后,要觀察是否恰好等于相應的兩項之差;

（2）使用裂項法求和時,要注意正負項相消時消去了哪些項,保留了哪些項,切不可漏寫未被消去的項,未被消去的項有前后對稱的特點,實質上造成正負相消是此法的根源與目的。