淺談小學生方程思想的有序培養

張金元

方程是“數與代數”領域學習的主要內容，也是解決實際問題的重要工具。人教版教材把“方程”的教學安排在五年級上冊，在教學中筆者發現，學生主動選擇用方程解決問題的人數并不多。究其原因，一是學生算術思維根深蒂固。學生從一年級開始一直學習的都是用算術方法解決問題，“算術法”在學生頭腦中已經根深蒂固，形成了思維定勢。二是學生嫌方程的書寫步驟煩瑣。三是學生的方程思想尚未形成。用方程解決問題需要學生在感知問題情境的基礎上，將日常語言“翻譯”成數學語言，再把數學語言直接翻譯為含有未知數的等量關系，對很多學生來說沒有這樣的習慣和意識，因而不選擇方程解決問題也在情理之中。

方程思想是一個建模和化歸過程，它必須經歷由簡入繁、由易變難、循序漸進的過程，不可能一蹴而就。那么如何在小學階段有序地培養學生的方程思想呢？筆者針對這一問題進行了探索。

一、早期滲透

一至四年級的數學學習學生主要運用的是算術思維，如果在算術思維中適當滲透代數知識的學習，對五年級方程的學習就能水到渠成。其實翻閱各版本教材，不難發現，在第一學段甚至是第一冊教材中就有許多方程的雛形，在很多練習中也能找到滲透“方程思想”的素材。

（一）早期滲透等式性質

學生認識方程的最大困難在于受等號是“輸出結果”的影響，如4+5=9，從左往右運算，始終拘泥于具體運算，而不會把“4+5”看成是一個結果，學生始終認為“4+5”是一個算式，一個式子，必須要寫出9才是答案。因此，在學生的頭腦中只有實現“=”由“輸出結果”向“相等關系”的轉變，其對方程的認識水平才能發展。在小學低年級日常教學中要加強等式性質的滲透，將方程思想貫穿于問題解決之中，為今后的方程教學打下良好的基礎。如一上計算5+（ ）=12時，教師可結合天平稱物體的具體情境（左邊5個壘球，右邊12個壘球，天平的左邊應增添幾個壘球，天平才平衡），通過演示來幫助學生學習，讓學生感悟到左邊必須加上7個壘球，這時天平才會平衡，即括號里的數填7。在此基礎上讓學生進行變式：寫出5+7=（ ）+（ ）的算式，然后轉化為圖形算式：5+7=□+2，讓學生在操作天平的同時，體驗“代入”思路，構造圖形等式，推算結果，體驗等式性質。

（二）早期滲透方程思想

一年級的教材中有這樣的習題：桌子上有5本書，書包里還有一些書，一共有12本書，書包里有多少本書？學生也會列成：5+7=12（本），答：書包里有7本書。很多教師都不會去思考學生的想法，直接判學生錯。學生對這種算法形成的原因到底是什么呢？一年級學生在解題時并未意識到未知數和已知數的不平等，他們更關注事情的發展順序。因此，當題目的敘述與事情的發展順序相反時，由于缺少“從結果推算出原有條件”的能力，往往將未知數與已知數混在一起，按照事情的發展順序列出算式。這一根據題目敘述“直陳直寫”的列式方式卻恰恰是小學中高年級方程思想的核心，是學生必須掌握的基本方法。

在教學中教師應該呵護學生這種同等看待已知數和未知數的想法，這是方程思維的萌芽。先肯定5+7=12的合理性，然后引導學生用◆、（ ）代替未知數進行列式：5+◆=12、5+（ ）=12或12-5= （ ），從而讓學生分清什么是已知的，什么是未知的。這樣的教學能使學生經歷從實物素材抽象到圖形素材，為從圖形素材抽象到字母符號素材的思維發展奠定基礎。同時，這樣的安排不僅符合學生的思維發展規律，而且促進了學生對減法意義的理解，最重要的是保護了學生與生俱來的方程意識。

二、現期調整

（一）重組教材，整合框架

人教版實驗教材正式進入方程學習是在五年級上冊第四單元，教材編排主線是先用字母表示數，然后在天平的演示下構建方程意義，接著是在具體情境中進行x±b=c和ax=b、x÷b=c的教學，最后是ax±b=c、（a±x）×b=c、ax±bx=c三類稍復雜方程的教學。教材將方程的解法融入具體情境中，算用結合，增加了學生學習的難度。學生一邊要在現實問題中收集分析有用的數學信息，將它們抽象成數學語言，同時又要關注方程解法技能的習得，往往會顧此失彼。所以在實際教學中，筆者在教學了方程意義后，先教學“x±a=b、ax=b、a-x=b、x÷a=b、ax±b=c、a（x±b）=c、ax±bx=c”等各類方程的解法，最后教學用方程解決實際問題。在教學稍復雜方程解法時，筆者有意不使用新的問題情境，而是用學生熟悉和已掌握的問題類型來幫助學生理解算理，讓學生從“以算促用”自然地過渡到“以用引算”。用新方法解決舊問題，對學生來說問題是熟悉的，只有解ax-b=c的方法是新的，無形中降低了學習的難度，找到學生學習方程的新的發展點，激發了學生學習、使用方程的動力。

（二）重構教學，建立模型

有許多教師在教學時總是將目標落在“知識與技能”這一維度上，把方程意義的學習等同于讓學生記憶“含有未知數的等式”這句話，在解方程中只重視結果，注重單純的技能訓練，沒有“建模”和“用模”的痕跡。

1.以“質變”為認知核心，識別“序”的架構

方程的實質是用等號將相互等價的兩件事情聯立起來，而小學生的思維發展規律是從實物到半抽象的圖形再到字母符號的過程。學生在低段的學習中已經經歷了實物到圖形的過程，在課堂教學中教師要把方程的本質作為學生認知的核心，注重實質，逐步建立方程思想。在教學“簡易方程”時不僅要讓學生理解“=”表示左右兩邊的相等關系，讓學生從“象形方程”到“簡寫方程”再到“符號方程”，幫助學生體驗符號代替數的簡潔，體會方程的意義，從而讓學生理解方程是關于已知數和未知數相等關系的“天平”，促進對方程實質的理解和領悟。

2.以“聯系”為思維路徑，洞察“聯”的因果

要讓學生初步領會方程思想，不能就題論題，而應當從方程的視角抓住眾多事物的共同普遍性的本質，以實質上具有同類關系的問題為主線突出相應的解法要點，達到觸類旁通、體驗方程的思想和價值。如稍復雜方程以“王阿姨到水果店買蘋果和梨各2千克，梨每千克2.8元，王阿姨一共付了10.4元，蘋果每千克多少元？”為切入口，讓學生形成“ax+ab=f”與“a（x+b）=f”的兩積之和模型。教師還可以將例題進行變式，把“王阿姨到水果店買蘋果2千克，梨每千克2.8元，買了3千克，梨比蘋果多付3.6元，蘋果每千克多少元？”變式為ax+m=bc的總量相等的模式，還可以變為其他一些形式。endprint

學生在此類問題的分析、討論、驗證中可以逐步發現此類問題的共性，從而將本質屬性抽取出來：只有一個量作為未知數，不管如何變化，都是總量相等。同時，也在辨析中突破了“ax+ab=f”與“a（x+b）=f”兩積之和的基本型，從而打破了例題界限，在眾多形態各異的表象背后蘊藏著千絲萬縷的聯系和高度概括意義的數學思想方法，催化了兩積之和方程模型的建構，提升了方程建模的理性高度。

3.以“矛盾”為探究理念，豐富“探”的內涵

在方程教學中一直以來爭議最大的就是解方程是依據等式基本性質還是四則運算的關系？或者是兩者兼顧？到底哪一種好，眾說紛紜。在人教版教材中四則運算的方法只在解方程的起始課中出現了一次，教材的意圖是突出用等式的性質進行教學。針對這一“矛盾”，筆者在平行班中進行了對比教學：班級①先學習用等式基本性質解方程，然后學習用四則運算的關系解方程；班級②以等式基本性質為主，以四則運算的關系為輔；班級③只學習用等式基本性質，對四則運算的關系只在第一課時一筆帶過。教學之后，對三個班級進行了檢測，結果發現：班級③的正確率最高，學生解題基本上不受各部分關系的影響；但是班級③的學生雖然正確率高，而速度明顯要比其他班級慢得多。

在后續教學中，為了提高學生的書寫速度，筆者在教學列方程解決問題時先要求學生用完整、規范的步驟書寫。在學生熟悉步驟后，讓學生簡化書寫程序，可以將題目中表示未知數的量直接用“x”表示，然后列方程并解答。檢驗時運用直接代入法進行檢驗。這樣就大大提高了解答的速度，同時也提高了學生主動選擇用列方程解決問題的自覺性。

4.以“發展”為關注視角，追蹤“發”的軌跡

在實際教學中，教師要站在系統的高度來處理方程教學內容，以初中代數教學視角來統領小學方程教學，以發展的眼光看待學生方程思想的形成過程。

如在教學ax=b中，教師呈現了以下的題組：

① 一個正方形的周長是60厘米，它的邊長是多少？

② 某人騎自行車4小時行了60千米，平均每小時行了多少千米？

③ 甲筐有橘子60千克，是乙筐的4倍，乙筐有橘子多少千克？

學生通過分析都很快列出方程：4x=60。然后教師進一步引導學生質疑：“4x”在以上三題中分別表示了什么含義？以上題組創設的數學情境簡單易懂，易于讓學生找出基本的等量關系，當學生會用數學語言對等量事實進行清楚的描述與概括后，教師讓學生根據自己的生活經驗編一道用方程“4x=60”解答的實際問題。在教學中教師用“發展”的視角利用問題情境的變式，而保持基本數學模型的不變，引導學生領會問題間的內在聯系，抓住問題的實質，使學生在簡單的現實情境中感受數學建模思想。

三、后期延展

正如前文所述，學生方程思想的形成不是一蹴而就的，是一個由易到難、由簡到繁不斷螺旋上升的過程。學生雖然經歷了從文字方程到圖形方程，再從圖形方程到字母方程的過程，初步建立了方程思想，但要想讓方程思想在學生腦海里深深烙上印記，就必須在后續的教學中結合相應的教學素材不斷反復地加以強化。比如在學習人教版“簡易方程”后，教材緊接著安排了“多邊形面積”的內容，那么多邊形面積計算公式的推理過程，多邊形面積的等積變形，也可以與方程教學有機結合。如：一個等腰梯形的周長是52厘米，腰長為6厘米，如果下底縮短4厘米，面積就要減少9平方厘米。求這個梯形的面積。在分析解題時要讓學生建立“原梯形面積=現梯形面積+9”的加法模型，利用加法模型讓學生用方程思想解答平面幾何題。這一過程實質上是把幾何中的“形”的問題，借助于代數中的“數”去揭示幾何量之間的內在聯系，從而達到解決問題的目的。還有六年級的分數、百分數的應用、正反比例等知識的學習，教師都應有意識地和方程教學相聯系。

總而言之，我們的教師要有“大方程教學觀”，在第一學段有意識地滲透“文字方程”“圖形方程”，讓學生從“方程思想直覺階段”有效地過渡到“方程思想形成階段”的“字母方程”，然后走向“方程思想的應用階段”，最終達到學生方程思想的有序構建。

（浙江省建德市三河小學 311600）endprint