“計算”如何變教為學

計算教學在現行小學數學課程中通常包括筆算、口算、簡算和估算。其中的筆算、口算和簡算是以計算準確為目的，在此基礎上計算方法有所差異。而估算是在實際情境中以達成計算者主觀意愿為目的的計算，因此具有“情境之中、無須準確、追求簡捷、達成意愿”的特征。[1]下面重點談一談在“變教為學”的背景下，筆算教學中學習活動的設計。

筆算這一說法是相對于歷史上數學課程中的珠算和心算而言的，也就是現在所說的“豎式”計算。傳統的豎式教學往往追求的是“又對又快”，因此采用的教學方法是講解和示范。學生的學習方法是傾聽、模仿和練習。這樣的教法和學法在某種程度上是可以達到“又對又快”的目的，但是缺失了學生的主動思考和不同方法之間的融會貫通，也缺失了學生之間不同方法的表達和交流。“變教為學”期望計算的教學過程成為學生主動的學習過程。這樣的學習過程至少應包括如下三個環節。

第一是對多種算法的探索和交流。事實上，在歷史上筆算豎式的寫法是多種多樣的，[2]以三位數乘兩位數“125×12”為例，如果從右向左的順序可以寫為：

如果是從左向右的方向則可以寫為：

除了豎式之外，還可以運用“算式重組”的方法，[3]把“125×12”改變為“（125×4）×3=500×3”或者“125×（10+2）=125×10+125×2”等形式進行計算。為了讓每一個學生都經歷對多樣化計算方法的探索和交流，這一環節的學習任務可以設計為“用盡可能多的方法計算125×12，并向同伴講解你的方法。”，學生依據這樣的任務，借助自己已有的知識和經驗，就可以開展探索與交流的學習活動了。

第二是對不同方法的理解與比較。理解算法的有效方法是用其他方式重新表述計算過程。比如可以給學生布置這樣的任務：“在算式□×□=1500的方格中填寫恰當的數，使得乘積等于1500。”學生在填寫的過程中就會發現諸如“125×12=500×3”這樣的算法的合理性，并且發現其中蘊含著的乘法“積不變”的規律，即“如果一個因數擴大的倍數，與另一個因數縮小的倍數相同，那么乘法的積不變”。

再比如，還可以利用長方形面積的問題幫助理解。給學生布置這樣的任務：“用不同的方法求出下面長方形ABCD的面積。”

學生在不同方法的對比中，自然就會發現“（100+25）×12=100×12+25×12”的合理性。

在充分理解各種計算方法的基礎上，就可以引導學生針對不同方法的比較，這樣的比較一方面是觀察不同方法的相同點和不同點，另一方面是分析每一種方法的優勢與不足。需要注意的是，比較的結論應當是開放的，學生的結論只要是能自圓其說的，就應當認為是正確的，是需要被尊重的。切忌給出“某種方法好，其他方法壞”的結論。因為方法的價值判斷是主觀性的，是因人而異的。

第三是對計算方法的提升與應用。計算方法通常是操作性的，比如運用乘法“積不變”的規律將“125×12”改變為“500×3”，這樣的方法可以敘述為“將因數125擴大為原來的4倍，再將因數12縮小4倍”。如果將這樣的方法看作對算式“125×12”的解構與重構，也就是分解之后重新組合，那么這樣的想法就有了更廣泛的應用。數學中許多問題的解決都需要采用類似于此的方法。

比如，推導平行四邊形的面積公式，通常就是將平行四邊形分解后，重新組合為一個面積相等的長方形。[4]再比如，將假分數化為帶分數也是分解后重新組合成新的形式。比如，要將假分數化為帶分數，首先就需要將分子10分解為3的倍數9與1的和，而后重新組合為3，即：

這樣的方法在中學乃至大學的數學學習中會經常用到，比如許多時候需要對諸如的代數式進行化簡，所采用的方法與前面假分數化為帶分數的方法是一樣的，即在分子中分解出分母的因式，而后重新組合。具體過程為：

===X+1+

像上面這樣，將一個具體的操作方法提升為一種想法，而后將這種想法應用到更加廣泛的解決問題之中，無疑對于建立知識與方法之間的關聯，培養學生的思維能力會有所裨益。這樣的設計可以用下面的表格清晰地呈現出來。

三位數乘兩位數教學設計

學習目標 經歷對“125×12”多種筆算方法的探尋過程；對不同方法的比較過程以及對算法的應用過程。

子目標 探索多樣算法 經歷方法比較 聯想應用方法 反思總結學習

學習任務 你能用多少種方法寫出“125×12”的計算過程？先獨立思考，再與同伴交流。 你認為每一種方法的優點是什么？不足之處是什么？把自己的想法說給同伴聽。 你認為哪一種方法最好？舉一個你自己熟悉的例子說明這個方法的好處。 總結出“三位數乘兩位數”與“兩位數乘兩位數”的計算方法的相同點和不同點。把你的總結寫出來。

學習活動 回憶兩位數乘兩位數的計算方法；思考、書寫、表達、傾聽不同計算方法。 比較的思考過程；傾聽和表達不同的價值判斷。 聯想的思考過程。 歸納與概括的思考過程；用書面語言表達想法的過程。

計算實質上不是知識的學習，而是學生利用自身經驗進行探索的過程。對“三位數乘兩位數”的探索實質上是對“兩位數乘兩位數”所獲得的經驗的應用和拓展，因此教學中應當充分利用學生已有的經驗，引導學生開展自主與合作的學習活動。

參考文獻

[1]郜舒竹，王海嬌. 教科書中的“大約”與估算[J]. 教學月刊小學版（數學）. 2012（11）

[2] 郜舒竹. 回眸歷史看豎式[J]. 教學月刊小學版（數學）. 2013（6）

[3] 郜舒竹， 鄭麗麗. 估算方法知多少[J]. 教學月刊小學版（數學）. 2012（10）

[4] 郜舒竹. 由此及彼，探索規律[J]. 教學月刊小學版（數學）. 2013（12）

（首都師范大學初等教育學院 100048）