用數學思想方法指導教學

張雙孝

數學思想方法，作為數學知識內容的精髓，是對數學的本質的認識，是數學學習的一種指導思想和普遍適用的方法。數學思想方法的學習和領悟會使學生將所學的零散的知識點聯系起來，能幫助學生形成有序的知識鏈，為學生構建良好的認知結構起到十分重要的作用，是由知識轉化為能力的橋梁，是培養學生數學意識、形成優良思維素質的關鍵。數學學習時，學生“懂得基本原理使得學科更容易理解”（布魯納），有利于記憶。學習基本原理有利于“原理和態度的遷移”，培養學生的創造能力，能夠縮短高級知識和初級知識之間的間隙。數學思想方法能培養學生的數學思維品質。

數學思想方法教學的課堂組織模式

數學思想方法是基于數學表層知識，又高于它的深層數學知識，它隱藏在具體的數學知識方法之中，精心設計課堂教學、把握教學全過程是有效進行數學思想方法教學的基礎和保證。教師要“站在系統的高度教授知識，讓知識總是以系統中的一個環節的面貌出現在學生的面前”，著重數學原理的發現與汲取，設計課堂方案與組織實施。在數學教學中，我共梳理了以下五種模式。

觀察、猜想——啟發式。教師引導學生恰當運用觀察與實驗來獲取經驗材料，進行大膽猜想，發現新事物。操作程序可設計為：觀察—猜想—實驗—證明—應用。此模式適用于規律課（定理、公式、性質）的教學，在教學中強調從特殊到一般的方法。

研究、實踐——探究式。在數學實際應用問題中經過逐步抽象、概括而得到數學模型，利用數學知識研究數學模型的結論，分析數據，并解釋實際問題蘊含的內在原因。此模式適用于數學實際應用問題教學，一方面是利用函數方程思想、最優化思想解決有關的實際問題;另一方面是利用統計知識方法，處理數據，研究有關的實際問題。例如，利用所學的統計知識研究北京的空氣污染問題、學生總成績與各科目的相關程度的問題。

聯想、演繹——啟發式。運用類比聯想幫助學生找出相關數學概念、相關數學命題之間的聯系與區別，引導學生從概念的內涵、外延、屬種、差別等方面去理解概念，澄清一些易于混淆的概念、定理、公式，確切地理解數學概念系統。此模式適用于新課、復習課，強調結構思想、最優化思想以及比較與分析、歸納與類比方法。

化歸、轉化——啟發式。借助舊知識、舊經驗來處理面臨的新問題。其程序：對問題觀察—聯想—回憶舊知識—問題解決。此模式適用于“規律”課、復習課，強調化歸思想、轉化思想、數形結合思想。例如，立體幾何教學中，將立體幾何轉化為平面幾何;研究空間線面關系時，借助長方體進行轉化，同時聯想平面幾何的有關結論探究立體幾何中的圖形性質。轉化也是一種重要的解題策略、數學思想，人們在解決數學問題時往往要盡可能地把它轉化為熟悉的、簡單的已經解決或容易解決的問題。

訓練、總結——啟發式。解題是數學思維活動的主要實踐形式，借助解題訓練，在反復的體驗和實踐中使學生逐步認識、理解數學思想方法。此模式適用于復習課，強調多解歸一，尋共性;多題歸一，找規律。

數學思想方法的教學策略

在教學中，抓住機會、適時滲透、化隱為顯。問題的發現過程、概念的形成過程、結論的推導過程、方法的思考過程、規律的被揭示過程都是在向學生滲透數學思想方法，是訓練思維的極好機會。在教學實踐中，我梳理了以下七條課堂教學策略。

策略一：讓學生做學習的主人。學習有一條很重要的原則，就是自我培養的原則。對于數學思想方法的學習也不應靠灌輸，教師應將數學思想方法的概念、結論性知識的教學設計成再發現、再創造的教學過程。通過探索研究活動，使學生在動腦、動手、動口的過程中領悟、體驗、提煉數學思想方法，并逐步掌握、應用。

策略二：單元結構組織。“不論我們選教什么學科，務必使學生理解該學科的基本結構”（布魯納）。在組織安排教學內容時，我改變按課時分配劃分的方法，按照知識的內在聯系，將整本教材的教學內容劃分成若干單元進行教學，使學生掌握知識內在聯系，獲得比較系統、完整的知識，便于記憶，使學生站在系統高度體會、掌握其中蘊涵的數學思想方法。

策略三：注重知識的形成過程。概念是思維的細胞，是濃縮的知識點，是感性飛躍到理性認識的結果，而飛躍的實現要經過分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工。現代數學尤其重視數學概念，許多技巧性強的運算證明可以被計算機代替，而概念獲得則不能。概念教學既重視概念的運用，更重視概念的獲得，引導學生揭示概念本質特征，培養學生從具體到抽象、特殊到一般的思維方法。教學中，教師應引導學生積極參與數學定理、性質、法則、公式等結論的探索、發現、推導過程，弄清每個結論的因果關系。

策略四：導入與小結設計實施要呼應。數學思想方法是隱性的知識，在導入的環節，不僅羅列出復習的知識，還給出本節的基本思維流程、基本思想方法，使數學思想方法顯現出來引導學生研究體會;在小結的環節，有效地利用對比、類比、化歸、轉換等，揭示知識之間的內在聯系，講清來龍去脈，從整體上對內容有清晰的認識，形成知識結構圖，利用算法思想展示思維流程，引導學生反思回顧，引起共鳴，促進學生掌握數學思想方法。

策略五：例題、習題實踐中，注重過程滲透，最后在反思中升華。解題是最重要的數學活動，要從創設問題情境、理解問題、嘗試求解、反思回顧的全過程運用、滲透數學思想方法。“反思是數學活動的核心和動力”（弗蘭登塔爾）。對于例題、習題，不能就題論題，要讓學生解完題后進行反思。反思求解的過程，能讓學生較好地概括思維本質，從而上升到數學思想方法上來。這種對解題過程的評價，能夠優化學生的思維方法，提升學生的創新精神和實踐能力。

策略六：重視數學史的教育。縱觀數學史，大凡有所成就的數學家，在數學思想方法上都有良好的素質，他們從無數次的成功與失敗中，經過分析與研究探索到了科學的思維規律，掌握了數學思想方法，他們給人類的貢獻不僅是數學成就，更重要的是給后人留下從事數學研究的思想方法。數學史也是對于一些重要的數學概念形成過程的人文描述，通過數學史的學習可以加深認識和理解。為此，我們開設了《數學史選講》的選修課。

策略七：不斷反復，螺旋上升。數學思想方法是基于數學知識，又高于數學知識的一種隱性的數學知識，要在反復的體驗和實踐中才能使個體逐步認識、理解，內化為個體認知結構中對數學學習和問題解決有著生長點和開放面的穩定成分。在高中三年教學中，教師一方面要在日常教學中滲透、突出、強化數學思想方法的教學;另一方面，依據最近發展區理論、可接受的原則，在不同的階段進行數學思想方法的系統教學。

數學思想方法教學進一步推進舉措

深入鉆研教材，充分挖掘有關的數學思想方法。對教材的定義、公理、定理、公式、法則等要逐字逐句推敲，抓住揭示其本質屬性的關鍵字眼，搞清彼此之間的邏輯結構，掌握教材的科學性;明確本節教材在整個體系中所處的地位，以及教材本身的結構特點，探討和挖掘教材中的辨證唯物主義因素，掌握其中蘊涵的數學思想方法。

注重教學反思，開展教學研究，撰寫經驗小論文。在每節講課結束后，要認真撰寫課后反思，針對一些典型的問題展開研究，剖析問題，全面認識有關的概念、法則。撰寫小論文，不僅能將自己的研究成果或教學經驗及時總結出來，啟發他人，又能通過參考大量的文獻資料，展開一定的探討與研究，提高自己的數學修養和教學能力，并形成對數學思想方法的系統認識。

掌握與教材有關的數學史。“如果我們想要預見數學的將來，適當的途徑是研究這門科學的歷史和現狀”（龐卡萊）。學習數學史有助于全面深刻地理解數學知識。通過學習數學史，可以了解數學知識的來龍去脈，有利于教師處理教材，尋求有效的教學方法;學習數學史，可以了解數學先輩們的刻苦鉆研的作風。中學數學教材中有大量的數學史料，教師必須掌握與充分利用這些史料才能很好地完成教學任務。

緊密的團隊合作。如果有一個志同道合的工作伙伴與自己共同研究數學，相互交換意見之后的過程會少走許多彎路。另外，在交流的過程中能夠碰撞出智慧的火花，并使得教師們在數學教育中形成一種伙伴關系，以共同協作進行數學教學。

總之，在教學中，教師要將數學知識和思想方法的教學結合起來，以數學思想方法為指導進行教學，在教學的各個環節滲透、明晰數學思想方法，引導學生領會數學知識間內在的本質聯系，使學生形成良好的認知結構，有利于提高學生的數學思維能力，提高教學實效。

參考文獻：

1.錢佩玲編著.數學思想方法與中學數學.北京：北京師范大學出版集團，2008.

2.朱水根，王延文等著.中學數學教學導論.北京：教育科學出版社，2001.

3.[美]G·波利亞著.數學與猜想.北京：科學出版社，2012.

4.曹才翰，章建躍著.數學教育心理學.北京：北京師范大學出版社，1999.

5.孫維剛著.我的三輪教育教學實驗.北京：北京教育出版社，1999.