培養幾何直觀能力應處理好四對關系

◎福建省寧德市蕉城區實驗小學 黃榮楣

培養幾何直觀能力應處理好四對關系

◎福建省寧德市蕉城區實驗小學 黃榮楣

培養學生的畫圖能力和習慣是學生幾何直觀素養形成的有效途徑之一。教師在教學中要喚醒學生的畫圖意識，處理好“演示”與“操作”的關系；追求畫圖的本質，處理好“精細”與“簡約”的關系；變通畫圖的方法，處理好“普通”與“優化”的關系；探尋邏輯關系，處理好“特殊”與“一般”的關系

幾何直觀；意識；本質；方法；關系

幾何直觀是《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出的十大核心關鍵詞之一。培養學生的畫圖能力和習慣是學生幾何直觀素養形成的有效途徑之一。在教學中，許多教師已經十分重視畫圖策略的教學，但往往忽視了一些細節的處理，弱化了幾何直觀能力的培養。在培養學生的幾何直觀能力時，應科學處理以下四對關系。

一、“我要畫”——喚醒畫圖的意識，處理好“演示”與“操作”的關系

畫圖能夠變“抽象”為“具體”，符合小學生以形象思維為主的思維特點，在解決一些問題時，起到“四兩撥千斤”的效果。但在實際的操作過程中，有的學生往往有嫌麻煩和畏難心理，視畫圖為“累贅”。如何克服學生的畏難心理，充分凸顯畫圖的價值呢？

1.適時借助圖形，讓學生充分體驗到畫圖策略的價值

在解決一些數量關系隱蔽的問題時，教師要讓學生充分體會到畫圖策略的獨到優勢。以《解決問題的策略——倒推》一課中的習題為例：小軍收集了一些畫片，他拿出畫片的一半還多一張送給小明，自己還剩25張，小軍原來有多少張畫片？學生往往出現以下兩種解法：①（25+1）×2=52（張）；②25×2＋1=51（張）。到底哪種解法才是正確的呢？有的學生說可以把52代入原題來檢驗，但仍有部分學習能力中下水平的學生并不理解算式中為何要“先加1再乘2”。此時，教師引導學生逐步完成線段圖（如圖1所示），學生觀察思考后明確：這里的25張并不是總數的一半，只有把25張加上1張，才是總數的一半。因此，借助圖形可以直觀的判斷方法①是正確的。在上述例子中，盡管畫圖只是該問題的輔助策略，教師的適時引導畫圖卻讓學生更好的理解題意，進而得出答案。

圖1

2.讓畫圖成為一種解題的習慣

教師的示范畫圖固然能讓學生發現畫圖的優越性，但有些教師為了節約課堂時間一味地演示，長此以往勢必越俎代庖，使學生產生對教師作圖的依賴，弱化其作圖能力。因此，教師更應積極引導學生主動地畫圖，從而實現對學生畫圖能力長效的培養。例如：“同底等積的圓柱體和圓錐體，圓錐體的高為48厘米，那么圓柱的高應是（ ）。①16厘米②48厘米③144厘米。”學生的解題錯誤率較高，選③的學生很多。學生在解答時，往往會假設出具體的數據進行舉例說明，此方法雖然可行，但過于繁瑣，也不利于發現圓柱高和圓錐高兩者之間的倍數關系。于是，教師引導學生畫這三個答案的示意圖（如圖2所示）。

圖2

通過畫圖，學生清晰看到，如果答案是③，那么圓錐的高度只有圓柱的三分之一，體積就更不可能相等了。學生從圖中發現在等底的前提下，如果要兩種圖形等積，則要讓圓錐的高是圓柱的3倍，而不是三分之一。否則，圓錐看上去特別小，根本不可能和圓柱的體積相等。有了直觀圖后，教師啟發學生進一步思考稍復雜的問題：在答案③中，圓錐的體積和圓柱的體積又有怎樣的關系？學生借助直觀圖，很快發現圓錐的體積圓柱的體積的九分之一。教師在最后引導學生反思整個解題的過程，突出示意圖對解決這個數學問題的重要作用，感受畫圖策略的價值。

在教學過程中，只要適時地把教師的演示和學生的動手畫圖相結合，并做到逐步放手，變“要我畫”為“我要畫”，使之內化為利用圖形思考的意識和能力，學生的幾何直觀能力必定會逐步提升。

二、“我會畫”——追求畫圖的本質，處理好“精細”與“簡約”的關系

畫圖作為常用的解決問題策略，分布在數學教學的各個領域，但在具體教學中，教師往往出現在處理上有失偏頗的現象：有的教師處理過粗，一開始就讓學生嘗試畫圖，缺乏必要的指導，學生或無從下手，或錯誤百出，影響了課堂教學效率，畫出的圖形，有的比例嚴重失調，阻礙了對題意的理解；有的教師則過于精細，從作圖工具、細節要求甚至美觀上都有嚴格要求。畫圖的本質是幫助學生理解問題、分析問題，教師的指導應該從規范化作圖逐漸向畫草圖過渡，關注學生對數學本身的理解和內化。以“用分數乘法解決問題”為例進行分析：“人的心臟跳動的次數隨年齡而變化。青少年心跳每分鐘約75次，嬰兒每分鐘心跳的次數比青少年多4/5，嬰兒每分鐘心跳多少次？”教師首先要讓學生弄清幾個小問題：①什么是單位“1”？②題目中的75次應該標在哪里？③應該把單位“1”平均分成幾份，另一個量相當于這樣的幾份？④多4/5應該標哪里？怎樣標？⑤檢查一下，所有的與解題有關的條件和問題是否都在圖里標上了等等。上述的問題可以讓學生先探究、討論并嘗試畫圖，再展示學生的作品進行評價、修正。在這個過程中，可以討論一些細節上的要求，比如通常先畫出單位“1”，這樣便于畫出另一個量；平均分可以借助刻度尺準確地分；畫出的兩條線段之間的左端點要對齊，多出的部分用豎線幫助對齊等。最后根據畫出的線段圖（如圖3所示），引導學生相互交流，說說各部分的意義。學生在把生活語言數學化，數學語言符號化的過程中，不斷加深對畫圖策略的感悟。

圖3

學生能準確規范地畫圖固然重要，但是如果過于精細化的要求，容易造成學生解題上的負擔，由此沖淡了他們對畫圖策略于解決此類問題獨特輔助價值的體悟，產生厭煩心理，反而棄之不用。因此，當學生畫圖比較熟練時，教師要適時放寬要求，允許學生畫草圖，或者局部畫圖。例如一道百分數應用題出現了“31%”“45%”這樣的兩個分率，此時，平均分顯得較為麻煩且無必要，就要允許學生用估計的方法，分別估計兩個分率的比例，較為合理地畫出草圖。再如，教學“環形的面積”一課時，出現了“在一個半徑為4.5米的圓形花壇周圍修一條寬2米的環形水泥路。這條水泥路的面積是多少平方米？”這一類的題目，此時學生最易錯或誤解的地方就是這里的“寬2米”指的是什么？它與花壇的半徑有什么關系？教師可引導學生畫出草圖并標上數據，從而找出所需條件。而至于學生要不要用圓規畫,用什么工具畫圓，畫得如何，只要不影響對題意的理解，就無需做太多要求。

三、“我巧畫”——變通畫圖的方法，處理好“普通”與“優化”的關系

在絕大部分教師常用的解決問題的輔助方法中，線段圖是占主導地位的。新教材把畫圖作為一種策略，方式可以不僅僅局限于線段圖，還可以是畫平面圖、立體圖、分析圖、線段圖、思路圖等多種示意圖,甚至可以是非標準的原生態圖示。隨著學生對畫圖策略的逐步領悟、內化，畫圖水平的逐步提升，教師適時關注畫圖方法多樣化，并引導學生進行優化。

仍以“小軍收集了一些畫片，他拿出畫片的一半還多一張送給小明，自己還剩25張，小軍原來有多少張畫片？”這道題為例，有位教師在教學時，用長方形圖代替線段圖來表示題中的數量關系（如圖4所示）。這樣數量關系更為直觀清晰。在線段圖中，由于分段較多，“多1張”很容易讓學生錯看成是“送走的那一半”中的一部分。而長方形中“多1張”這個數量能讓人一眼就看出是屬于另一半的。此時，教師再追問：那么，你們看看，能否修改算式25×2＋1=51（張），使它正確？學生借助圖，發現25×2求出的是兩邊各缺1張時的畫片數量之和，于是列出了這樣的算式25×2＋1×2=52（張）。同時，也加深了對之前錯題的錯誤原因的理解。

圖4

四、“我懂畫外音”——探尋邏輯關系，處理好“特殊”與“一般”的關系

在解決問題時，幾何直觀不僅能幫助學生理解題意，還能有效地培養學生的直覺思維。我國現代數學家徐利治先生曾指出：“幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知。”因此，在教學時，有時學生能借助直觀圖，跳躍性地思考問題，從而得出結果。例如：修一段長80千米的公路，已經修了1/8，剩下的甲乙兩隊分別按3：4修完。乙隊修了多少千米？通過畫圖，有的學生直接把80÷2=40（千米）求出答案，而解釋算式時則說是“從圖上（如圖5）直接看出來的”。當教師讓學生介紹別的解法，這部分學生卻認為已經解決問題了，不需要再花時間去明確數量關系。此時，解決問題成了學生的唯一目的，而本題的數量關系的分析，卻被學生所忽視。面對這樣的情況，教師在肯定學生的創新思維和直覺水平的基礎上，還要讓學生體驗到，這道題的快速解決和數據的巧合也有一定的關系。此時，教師可適時修改題中的數據（例如3：4改為2：3），讓學生去思考常規的解題方法，讓學生體驗到該方法的巧妙靈活，但又十分局限。解題時，既要關注畫圖帶來的特殊作用，又要真正地掌握一般的解題方法。

圖5

對學生幾何直觀能力的培養是一個長期的過程，需要教師在教學中用心關注每個細節問題，科學處理好以上四對關系，辯證施教。

陳志華）