略談三種數學思想在小學數學教學中的應用

◎福建省連城縣宣和中心小學　項如榕

略談三種數學思想在小學數學教學中的應用

◎福建省連城縣宣和中心小學項如榕

數學是一門培養和鍛煉學生數理邏輯能力的基礎性科學，也是一門應用性極強的工具性學科。數學思想方法是對數學本質特征的認識。在小學數學教學過程中滲透思想方法教育，有助于提高學生正確認識和理解數學，培養數理思維的能力。本文從數形結合思想、化歸思想、等量變換思想三方面論述數學思想方法在教學中的運用，以探討培養學生數理邏輯能力。

數學思想；典型；應用

數學思想方法是數學知識的精髓，又是知識轉化為能力的橋梁。小學數學中蘊含著豐富的數學思想方法，需要我們去挖掘并實施于解決問題的過程中。

一般來講，小學數學所涉及的思想方法主要有數形結合、分類、結合、化歸、歸納、建模、等量變換、類比、假設、可逆等等。數學思想方法并不單純是解決一類數學問題的捷徑，實際上反映了數學整體內在的規律和邏輯。在小學數學教學過程中滲透思想方法教育，不僅是提升數學學習興趣，打造興趣課堂的必由之路，也是引導學生正確認識和理解數學，培養數理思維，實現素質教育目的的題中之義。本文擬選取三種典型性數學思想方法予以介紹，并附實例說明數學思想方法在教學實踐中的應用。

一、應用數形結合思想，化抽象為直觀

數形結合思想是數學的重要思想方法之一，在數學教學實踐中應用極為廣泛，也是數學研究常用的方法。數形結合，顧名思義，即將數量關系與圖形相結合，通過線段、幾何面積、集合等圖示把數字所表示的數量關系通過圖形直觀地表達出來，從而使原本抽象的數學問題化為具體形象，進而提升學生的學習興趣，提高教學效果。

例如，在處理容斥關系一類的問題上。假設某班有學生若干，班里的學生必須至少參加一項體育運動，其中有35人參加籃球運動，21人參加乒乓球運動，有9人兩項運動都參加了，求班上共有多少名同學。對于很多小學生來講，讀完題目就已經暈頭了，不知如何著手，但如果根據題設條件做出韋恩圖（如圖1），則問題的答案就相當顯明了。從圖上可以很直觀地看到9人是重復的部分，應該用參加兩種體育運動的總數減掉重復的部分就是全班的總人數，即35+21-9=47（人）。

圖1

再比如，處理雞兔同籠問題時，也經常用到數形結合思想。假設籠子里雞和兔子共8只，腿有24條，請問籠中有雞和兔子各幾只。用方程來解答，設有雞x，則兔子個數為8-x，從而得到2x+4×（8-x）=24，從而得出有雞與兔子各有4只。這種方法作答，固然為最佳的計算方法，但對于小學生來講，往往較難理解，而借助數形結合的思想，則不僅有助于將題目作對，還能加深對一元一次方程的理解。如圖2，先畫8個圓代表雞兔總數，假設全是雞，則在各圓下畫2條腿，結果還剩8條腿，從而在4個圓下各畫2條腿，于是，從畫好的圖形中可知，有雞4只，兔子4只。

圖2

教學中經常遇到抽象難解的問題，題中繁雜的數量關系往往使學生一籌莫展。如果運用數形結合思想把數量關系與圖形相結合，把數字所表示的數量關系通過圖形直觀地表達出來，將原本繁雜的數量關系問題予以簡化，使問題變得直觀易解。可見，通過作圖的方式，將繁雜的數量關系簡單化，符合小學生的認知水平和思維習慣。

二、應用化歸思想，化繁雜為簡約

“化歸”即轉化和歸結之意，也是小學數學經常用到的思想。在解決數量關系復雜、計算量龐大的數學問題時，為了能簡單快速地得出正確答案，往往會將一個復雜數量關系甲通過轉化，歸結為一個相對較為簡單的數量關系乙來解決，通過解決乙問題而自然得到甲的答案。教師如果能在教學過程中引導學生靈活運用“化歸思想”問題，可以有效地提高教學效率。

在四則運算中靈活運用化歸思想，可以有效地減少計算量，提高解題的準確度。如在計算1.25×96×25時，如果按照一般的運算順序來解答，往往計算較為復雜，而且也容易算錯。如果運用化歸思想，將計算式予以轉化則問題會變得比較簡單。如上式，96可以轉化分解為8×4×3，這樣1.25×96×25=1.25×8×4×3×25=（1.25×8）×（25×4）×3，1.25×8=10，25×4=100，因此，（1.25×8）×（25× 4）×3=3000。再如，48×53+47×48，可以轉化為（53+47）× 48=4800，這其實也是化歸思想的體現。

在解答應用題過程中，也常會應用到化歸思想，從而使原本復雜的數量關系變得簡單。如，某甲與某乙進行跳躍比賽，甲每次可以向前跳躍1.5米，乙每次可以向前跳躍1.8米，甲與乙每秒鐘只允許跳一次。從比賽終點到比賽起點，每個5米設有一個休息區，問當甲乙二人任何一個恰好跳到休息區時，另外一個跳了多少米。乍看題目，往往一頭霧水，但仔細分析一下題目，如果巧妙運用化歸思想來解，問題就變得簡單多了。通過題設可以知道，當有其中一人恰好跳進休息區時，此時他跳躍的路程應為1.5（或1.8）的倍數，同時又應該是5的倍數，亦即1.5與5或者1.8與5的最小公倍數，于是這樣一個相對較為復雜難解的問題，通過化歸，轉化為一個單純求最小公倍數問題。

從上述例子中可發現，化歸思想就是要把復雜的數學問題，轉化、歸結為一個個基礎性的問題來解決，使題目更加簡化，計算更加快速、有效率。教學中靈活運用“化歸思想”解決教學中遇到的難題，可以達到事半功倍的效果。

三、應用等量變換思想，化疑難為簡易

所謂等量變換，即將一種等量轉換到另一種等量，由一種形式轉變為另一種形式的思想。它是代數思想方法的基礎。等量變換不同于化歸思想，雖然化歸思想中有等量變換的體現，尤其在轉化的環節，但化歸實際上是轉化和歸結兩個過程，而等量變換則僅僅涉及相同量的互換。

例如，求1/2+1/6+1/12+1/20+……+1/380的和，其中分數的分子均為1，但分母卻各不相同，但仔細觀察分母可以發現，2×1=2，，3×2=6，4×3=12，5×4=20……20×19= 380，由此可以發現規律，上述分子的一般項為1/n×（n+ 1），每個分數經過等量轉換可得：（1/n-1）×（1/n+1）。因此，前面分子式，原式=1/（1×2）+1/（2×3）+1/（3×4）+1/（4× 5）+……+1/（19×20）=（1-1/2）+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+（1/ 4-1/5）+……+（1/19-1/20）=1-1/20=19/20。

事實上，在數學教育實踐中，很多思想的應用并非孤立的，有時候一道題目的解答需要用到多種數學方法，而且，運用多種思想方法也可以解答同一道題。比如，在一場“形象小姐”大賽中，甲的專業得分為8.55分，綜合得分0.88分，總分9.43分；已知乙的專業得分8.65分，綜合得分0.4分，請問誰的比分高，高多少。按照一般的算法，9.43-（8.65+0.40）=0.38，可見甲的比分較高，高出乙0.38分。除此以外，還可以8.65-8.55=0.10，0.88-0.40=0.48，0.48-0.10=0.38，這里應用了對應的思想方法；8.65-8.55=0.10，就從0.88-0.10=0.78，再0.78-0.40= 0.38，應用了等量變換的思想。

數學思想方法是在數學教學和研究中所歸納形成的，體現了數學的本質特性和內在趣旨，在小學數學教學過程中應注意有目的、有選擇、適時地進行滲透。運用數學方法解決問題的過程就是感性認識不斷累積的過程，當這種量的累積達到一定度時就產生質的飛躍，從而上升為數學思想。因此，學生若能通過不斷的解題實踐，熟知數形結合，化歸轉換，等量變化等數學思想的運用就能潛移默化地習得數學的求解方法，更重要的是還能兼而習得數學的思維品質和習慣，習得對數學本質特征和規律的認知。

（責任編輯：陳志華）