初等函數的Taylor展式在解題中的應用

劉海峰++++李英杰

摘 要： 本文以近年來全國碩士研究生入學考試（數學一、數學二）中的題目為例，說明初等函數的Taylor展式在解題中的應用.

關鍵詞： Taylor展式 無窮級數 碩士研究生招生考試

全國碩士研究生招生考試數學考試大綱明確指出，數學考試的考查目標是：要求考生比較系統地理解數學的基本概念和基本理論，具備抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運算能力和綜合運用所學知識分析問題與解決問題的能力[1].

無窮級數是高等數學的一個基本概念，在微積分的發展史上處于重要地位.Taylor級數對初學高等數學的理工科大學生是難點，也是研究生入學考試的考點.本文以近幾年全國碩士研究生入學考試數學試題中出現的題目為例，說明初等函數的Taylor展式在解題中的應用，希望給正準備考研的同學一些幫助，同時也對正在學習高等數學的同學有所啟發.文中用到的初等函數的Taylor展式，均從最初等的結果推導得出，我們強調方法的重要性，強調對數學概念的理解而不是單純的記憶.

一、應用Taylor展式計算函數極限

例1：（2014數學一No.15）求極限

分析：題目是求分式的極限.由于分子是變限積分確定的函數，且不易用初等函數表示，這提示用洛必達法則計算該極限，通過對分子和分母分別求導，簡化分式.同時我們觀察到，如果直接求導，那么雖然分子得到簡化，但分母會變得復雜，因此需要先對分母作等價無窮大替解：因為

所以由等價無窮大替換及洛必達法則可知

說明：研究生入學考試中求函數極限的題目常可以用等價無窮小（或等價無窮大）的替換結合洛必達法則求解.本題難度值為0.570，區分二、應用Taylor級數證明不等式

例2：（2012數學一No.15）證明：

分析：證明不等式的方法，教材中常見方法有利用函數的單調性、Lagrange公式和最大值最小值等.考慮到本題中函數的特殊性，利用函數的Taylor展式會更簡潔，也更直接，而且可以證明比該不等式更強的結論成立.

證明：因為當-1

所以，

由此即得

所以，要證明的不等式成立.

說明：早在1668年，James Gregory在《幾何原本》中就有

“Euler按照他自己和所有他同時代人的經驗堅信，所有函數都能展開成級數.而事實上，在那時，所有解析表達式給出的函數的確都可以展成級數”，“級數只是無窮多項式，并且也就當作多項式來處理.”本題難度值為0.397，區分度為0.434[2].該題同時為2012數學二No.20、數學三No.18.

三、應用Taylor級數的和函數預測根值

兩端同時加上1，即得

說明：本例先利用Taylor展式觀察出要求的極限值，再給出嚴格的論證.合情猜測能提供解決問題的思路，是考生應該注意掌握的一個技巧.本題的難度值為0.290，區分度為0.548[2].

四、結語

研究生招生考試數學考試大綱中考查目標的最后一句話說明，數學考試的題目相對比較綜合，不是單純考查某個知識點.考生在考試時會發現有些題目看似簡單，卻很難用常規思路解題.但是，只要考生深刻理解數學概念，平時多訓練多總結，就能逐步強化考試大綱中要求的靈活運用抽象知識綜合解決具體問題的能力.

參考文獻：

[1]全國碩士研究生招生考試數學考試大綱（高教版2015年）[M].教育部考試中心，2014.8，北京：高等教育出版社.

[2]全國碩士研究生招生考試數學考試分析（2015年版）[M].教育部考試中心，2014.8，北京：高等教育出版社.

[3]美，M.克萊因著.古今數學思想（第2冊）[M].北京大學數學系數學史翻譯組譯.1979.8，上海：上海科學技術出版社.