對分數再認識的若干思考

王曉紅

一、教學片段呈現

1.課件出示一塊蛋糕，準備分給四個小朋友。

師：怎樣分才比較公平？

生：要平均分成4份。

師：其中的1份可以用什么數來表示呢？

生：四分之一（異口同聲）。

師：四分之一是什么數？你是怎么想到四分之一的？

生：以前學過了，把一個物體平均分成若干份，其中的一份可以用幾分之一來表示。

師：好的，這是以前學過的知識，今天在這樣的基礎上，我們繼續學習分數的知識。

2.出示3塊比薩餅，仍然準備分給這四個小朋友。

師：能平均分給這四個同學嗎？

生一時語塞，似有困難，出現短暫思考時間。

師：看來同學們需要商量一下，請大家先在小組里交流，然后全班匯報。

學生匯報時，大體出現了兩類聲音：

聲音1：每位學生分得四分之三塊比薩。

聲音2：每位學生應分得這些比薩的四分之一。

師：到底是四分之一，還是四分之三呢？

學生開始在課堂上大聲地爭辯起來。

師：誰來說說自己的想法。

生1：我們是這樣想的：把這些比薩平均分給學生不好分，所以我們先拿出一塊平均分成四份，每一份就是四分之一，總共有3塊比薩，所以共有3個四分之一，就是四分之三塊了。

生2：我們是把這3塊比薩疊在一起的，看做一個整體，然后就像分蛋糕一樣，切兩刀，平均分成4份，每人拿一份，所以每人應分得這些比薩的四分之一。

生1：你講得不對，疊在一塊后總共有3塊比薩，分出的應該是四分之三塊比薩。

教師對上述情況早已做了預設及準備，學生講解的同時課件演示出這兩種平均分的方法。

師：好的，其實，這兩個同學講得都對，每人分得的比薩既可以用四分之三塊表示，又可以用這些比薩的四分之一表示，換句話說，這些比薩的四分之一就是四分之三塊。

講臺下一陣騷動，學生議論紛紛，對于老師的“總結陳詞”不理解，也不贊同。

二、診斷分析

以上片段是某位教師在執教本節課的實錄，不難從中看出，學生對于“每人分得的比薩既可以用四分之三塊來表示，也可以用這些比薩的四分之一來表示”不理解。其實，很多老師在教學本課時，也會有這樣的感受，怎樣讓學生感受到“把由若干個物體組成的一個整體平均分成幾份，可以用幾分之一或幾分之幾這樣的分數表示這個整體里的一份或幾份”？

為什么會出現這種情況呢？“分數”在五年級教科書中是這樣定義的：“把單位1平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數，叫做分數?！痹谶@樣的定義中，我們不難發現“單位1”是一個很抽象的，難以理解的概念，它可以是“一個物體”，也可以是“一個計量單位”，還可以是“許多物體組成的一個整體”，很多情況下的“單位1”是看不見、摸不著的，但客觀存在的。三年級上冊教學時“將一個物體平均分成若干份”，學生理解起來比較容易。因為將“一個物體”看成“單位1”時很直觀，實實在在，清清楚楚。正是因為“單位1”被通俗易懂地理解成1個物體，所以“平均分的對象”學生很明白，就是“那一個物體”，“平均分的結果”學生也很清楚，就是“那一個物體的”幾分之一。三年級下冊再學習《認識分數》時，教學中將“3塊比薩”平均分給4個小朋友，出現兩種聲音，其實是源于對“單位1”的兩種不同理解：第一種想法認為“每人分得的比薩是四分之三塊”，是將一塊比薩看做“單位1”（仍然停留在三上認知水平上，將1個物體看做“單位1”），將其平均分成4份后，每一份是這塊比薩的四分之一，也就是四分之一塊，之后進行疊加得出四分之三塊；而第二種想法認為“每人分得這些比薩的四分之一”是將3塊比薩看做“單位1”的，平均分成4份，每一份當然是這些比薩的四分之一了。數學老師細想這兩種想法都有道理。但如果站在學生思考的角度來想，要解決“每人分得多少比薩？”的問題，可能第一種想法更符合孩子的認知。因為學生已有三年級上冊認識分數的基礎，其思考的想法會受已有知識經驗的影響，自然會出現“每人分到四分之三塊比薩”的想法。相比之下，第二種想法“將3塊比薩看成一個整體，將這個整體平均分成4份，每一份可以表示為這些比薩的四分之一”反而是比較難理解的，只有少數優生和教師才能接受。教師簡單的一句“這兩個同學講得都對，每人分得的比薩既可以用四分之三塊來表示，又可以用這些比薩的四分之一來表示”能使學生心悅誠服嗎？筆者認為要想解決好這個認識問題，有必要幫助學生對“單位1”（即“一個整體”）的概念進行科學合理的建構。

三、教學思考

要想讓學生對于“單位1”的概念有深刻理解，要注重以下幾個關系的處理。

1.處理好部分與整體之間的關系，讓學生認識分數總離不開單位“1”。

“分數”是用來表示“部分”與“整體”之間的一種關系?！罢w”往往被稱之為“單位1”，相對應的那“部分”就是表示為“單位1”的幾分之一或幾分之幾，它們是緊密聯系、不可分割的。在理解分數時，若離開了“單位1”這個整體概念，那么這種數學表達將變得毫無意義。所以，三年級上冊教學時，我們不僅要讓學生知曉將一塊蛋糕平均分成兩份，每一份是“二分之一塊蛋糕”，還要重點強調是“這塊蛋糕的二分之一”，前者可能更多地講清了蛋糕的多少（即具體量），而后者才是“二分之一”這個分數的本質含義（即部分與整體之間關系的一種數學表達）。本教學片段中也是這樣，首先要讓學生充分感知到這些比薩是如何平均分的；平均分后的“部分”與“整體”間的關系可以怎么表達，其次要清楚為什么可以說“每人分得這些比薩的四分之一”，最后弄清“這些比薩的四分之一”到底是“多少塊比薩”？

2.處理好分數與平均分之間的關系，讓學生理解分數產生的前因后果。

將一個物體或一個整體“平均分”成若干份，其中的一份或幾份可以用“分數”來表示。反過來想，如果“單位1”沒有“平均分”，那么其中的某一部分就不能用“分數”表示[1]。從這個意義上來講，“分數”應該是“平均分”的結果，“平均分”則是產生“分數”的必經過程。在“分數”產生的過程中，與“單位1”本身含有物體的個數是沒有關系的，而是與平均分的“總份數”有關，與“想表示的份數”有關。在課例中正是因為“這個整體”（即這些比薩）中的3塊（即物體的個數）干擾了學生的思維，學生注意力牢牢集中在物體個數上，沒有想到“已將3塊比薩看做一個整體”了，使得直觀的實物與抽象的表達間產生糾葛，影響到學生對于“分數”本質的再理解與再認識。

3.處理好實踐操作與抽象概括的關系，讓學生活動探究中自主建構分數意義的實質。

從一個物體的幾分之一到一個整體的幾分之一，是認識分數的一次發展，也是學生思維由直觀到抽象的一次重要過渡。為什么多數學生頭腦中沒有“一個整體”及“一個整體的幾分之一”的概念？筆者認為主要是學生缺乏自主的實踐操作活動，缺乏對分數意義建構過程，導致對“一個整體”、“平均分”、“幾份”、“一份”等若干抽象概念沒有充分理解到位。

在教學中，為了使學生對分數的初步認識不斷深化，可以嘗試對問題情境的呈現方式做改變：創設孫悟空大鬧蟠桃大會的故事情境，在離開天庭的時候，孫大圣給花果山的小猴子們帶回若干個口袋，告知學生每個口袋里面分別裝有吃的、玩的等?，F在想將每個口袋中的東西（不打開口袋）平均分給4只小猴，該怎么分才公平呢？在師生交流對話的過程中引導學生充分理解“平均分”“四份”、“每一份”等概念，最終達成共識：每一份都是這個口袋的四分之一，再組織各小組進行實踐操作活動。由于課前發給每個4人小組的“口袋”內容是不一樣的（主要類型有：①1個桃畫片、②4個桃畫片、③8個桃畫片、④12個正方形畫片、⑤32個小三角形圖、⑥64個小圓片圖……），所以每個4人小組，平均分得到的“每一份”也是各不相同的：到1個桃，到2個桃，發展到3個正方形畫片，8個小三角形圖，16個小圓片圖……都是“一個口袋的四分之一”，為什么“每一份”各不相同呢？從而引起學生對“單位1”的關注與理解。學生的思維逐漸從具體發展到抽象，對分數的認識和理解得到了升華，不僅鞏固了如何將整體“平均分”，還在比較中揭示了分數的內涵，完成了對分數意義的建構：只要把一個整體平均分成幾份，其中的一份就能用幾分之一來表示，而每一份具體是什么，可能會由于“單位1”的不同而不同。