構造法在數學解題中的一些簡單應用

王燕兵

摘 要： “構造法”作為一種重要的化歸手段，在數學解題中有重要作用.本文從“構造函數”、“構造數列”等常見構造及“構造模型”等特殊構造出發，例談構造法在數學解題中的運用.

關鍵詞： 構造法 化歸 數學解題

近年來，構造法的應用逐漸為高考所重視，在競賽中有著一定的地位.下文結合一些常見的例題介紹構造法在解題中的運用.

1.構造代數式

在解決某些數學問題時，利用矛盾對立統一性，可以充分揭示條件與結論的內在聯系，探索構造適宜的數與式，架設解決問題的橋梁.

2.構造函數

在求解某些數學問題時，根據問題的條件，構想組合一種新的函數關系，使問題在新的觀念下轉化并利用函數的有關性質解決原問題是一種行之有效的解題手段.構造函數證（解）問題是一種創造性思維的過程，具有較強的靈活性和技巧性.在運用過程中，應有目的、有意識地進行構造，始終“盯住”要證、要解的目標.

易證f（x）在R上是奇函數且單調遞增

∴f（x）=-f（y），即f（x）=f（-y）.

又∵f（x）是增函數，∴x=-y即x+y=0.

3.構造方程

方程，作為中學數學的重要內容之一，與數、式、函數等諸多知識密切相關.根據問題條件中的數量關系和結構特征，構造出一個新的方程，然后依據方程的理論，往往能使問題在新的關系下得以轉化而獲解.構造方程是初等代數的基本方法之一.

說明：有些不等式的證明，如果借助已知條件的特點，通過構造二次函數來處理就會非常簡捷，這種例子很多.

4.構造數列

在處理與正整數n有關的數學問題時，根據題目所提供的特征，通過替換、設想等構造出一個與欲解（證）問題有關的數列（數組），并對該數列（數組）的特征進行分析，常可獲得解題的途徑.如果從分析問題所提出的信息知道其本質與數列有關，那么該問題就可以考慮運用構造數列的方法來解.

如果問題條件中的數量關系有明顯的或隱含的幾何意義與背景，或能以某種方式與幾何圖形建立起聯系，就可考慮通過構造幾何圖形將題設中的數量關系直接在圖形中得以實現，然后，借助于圖形的性質在所構造的圖形中尋求問題的結論.

其幾何意義是平面內動點P（x，0）到兩定點M（2，3）和N（5，-1）的距離之和（如圖1）.

為求其值域只要求其最值即可.

易知當M，N，P三點共線（即P在線段MN上）時，

綜上，構造法體現了數學發現的思維特點，“構造”不是“胡思亂想”，不是憑空“臆造”，而是要以所掌握的知識為背景，以具備的能力為基礎，以觀察為先導，以分析為武器，通過仔細地觀察、分析、發現問題的各個環節及其中的聯系，從而為尋求解法創造條件.但還必須指出，構造法并非是解題唯一解法，并且構造法也不只限于本文提到的幾種，對于同一道題既能有幾種構造法，又能用其他方法求解，應在學習研究的過程中注重對學生創造性思維的培養，使學生體會知識間的內在聯系和互相轉化，能創造性地構造解決問題的有利條件，巧妙地解決問題，從而獲得學習的愉悅感和成功的體驗.