建立數(shù)學(xué)模型解有關(guān)應(yīng)用題

顏元財(cái)

應(yīng)用題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，而與實(shí)際生產(chǎn)、生活有關(guān)的應(yīng)用題，已經(jīng)成為當(dāng)今中高考命題的一個(gè)熱點(diǎn).這類題目涉及面廣，主要考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力.解題的關(guān)鍵在于建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，然后用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識求解.這種解題思路，正是新的課程標(biāo)準(zhǔn)下，數(shù)學(xué)教材呈現(xiàn)出“問題情境—建立模型—解釋應(yīng)用”的教學(xué)模式.建立數(shù)學(xué)模型的過程可以用下面的框圖表示：

下面根據(jù)建立模型所用的中學(xué)數(shù)學(xué)知識點(diǎn)進(jìn)行分類舉例說明.

一、運(yùn)用函數(shù)知識建模

例1：某服裝廠生產(chǎn)一種服裝，每件服裝的成本為40元，出廠單價(jià)定為60元，該廠為了鼓勵(lì)銷售商訂購，決定當(dāng)一次訂購量超過100件時(shí)，每多訂購一件，訂購的全部服裝的出廠單價(jià)就降低0.02元，根據(jù)市場調(diào)查，銷售商一次訂購量不會超過500件.問當(dāng)銷售商一次訂購了450件服裝時(shí)，該服裝廠獲得的利潤是多少元？（2004年北京春季高考題）

解：假設(shè)一次訂購量為x件，服裝的實(shí)際出產(chǎn)單價(jià)為p元，則可以建立函數(shù)模型

因此，當(dāng)銷售商一次訂購了450件服裝時(shí)，該廠獲得的利潤是5850元.

二、運(yùn)用方程（組）與不等于只是建模

例2：某機(jī)床廠生產(chǎn)中所需墊片可外購，也可自己生產(chǎn).如外購每個(gè)價(jià)格是1.10元，如自己生產(chǎn)，則每月的固定成本將增加800元，并且生產(chǎn)每個(gè)墊片的材料和勞動力費(fèi)用需0.60元.試決定該廠外購或自廠的決策轉(zhuǎn)折點(diǎn).

解：假設(shè)在固定成本增加800元不變的條件下，決定墊片外購還是自廠的關(guān)鍵在于需要量的多少.設(shè)該廠每月需要墊片x個(gè)，則外購費(fèi)用為1.10x元.自產(chǎn)費(fèi)用為（800+0.06）元，當(dāng)外購費(fèi)用大于自產(chǎn)費(fèi)用時(shí)則自產(chǎn)，否則便外購.問題轉(zhuǎn)化為求不等式1.10x>800+0.06x的解.解得x>1600.

當(dāng)該廠墊片需要量在1600個(gè)以上時(shí)，自產(chǎn)較合算，少于1600個(gè)時(shí)，自產(chǎn)較合算，少于1600個(gè)時(shí)，以外購為好，而恰為1600個(gè)時(shí)，外購和自產(chǎn)一樣，都需花費(fèi)1.10×1600=1760元.

三、運(yùn)用數(shù)列知識建模

例3：某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同，為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增量不應(yīng)超過多少輛？（2002年高考題）

四、運(yùn)用三角形知識建模

速度向西偏北45方向移動，臺風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km，并以10km/n的速度不斷增大.問幾個(gè)小時(shí)后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲？（2003年高考題）

解：假設(shè)在時(shí)刻t（n）臺風(fēng)中心為Q（如上圖）.此時(shí)臺風(fēng)侵襲的圖形區(qū)域半徑為10+60（km），若在時(shí)刻t城市O受到臺風(fēng)的侵襲，則可以建立三角模型，即邊OQ=10t+60.

由余弦定理知

∴12小時(shí)后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲.

五、運(yùn)用圓錐曲線建模

例5：A.B.C是我方三個(gè)炮兵陣地，A在B的正東，相距6千米，C在B的北偏西30，相距4千米，P為敵炮陣地，某時(shí)刻A處發(fā)現(xiàn)敵炮陣地的某種信號，由于B，C兩地比A距P地遠(yuǎn)，因此4秒后，B，C才同時(shí)發(fā)現(xiàn)了這一信號（該信號的傳播速度為每秒1千米）.A為炮擊的方位角.

解：如圖，以BA所在直線為X軸，過B點(diǎn)垂直于直線BA的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則可建圓錐曲線模型，B，A，C的坐標(biāo)分別是（0，例6：王教授欲從北京出發(fā)，前往智利的圣地亞哥參加國際學(xué)術(shù)會議.假如只有兩種方案供選擇：

甲方案：從北京出發(fā)，先飛往美國紐約，再從紐約飛往圣地亞哥.

乙方案：從北京出發(fā)，先飛往澳大利亞的費(fèi)里曼特爾，再從費(fèi)里曼特爾飛往圣地亞哥.

為簡單起見，我們把北京的地理位置粗略地認(rèn)為是東經(jīng)120度，北緯40度.紐約的地理位置大致是：西經(jīng)70度，北緯40度.澳大利亞的費(fèi)里曼特爾的地理位置大致是西經(jīng)70度，南緯30度.智利的圣地亞哥的地理位置大致是：西經(jīng)70度，南緯30度.假設(shè)飛行航線走的是球面距離.請你比較這兩種方案哪一個(gè)飛行距離更短些？說明理由.（第三屆北京高中數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽試題）

綜上所述，用建立數(shù)學(xué)模型的思想解題，常常能打破常規(guī)，另辟蹊徑，使得問題迎刃而解.當(dāng)然，除了上面介紹的方法外，還可以運(yùn)用排列組合、概率統(tǒng)計(jì)、極坐標(biāo)、參數(shù)方程等知識建立模型，這里不再一一贅述.

參考文獻(xiàn)：

[1]葉其孝主編.中學(xué)數(shù)學(xué)建模.湖南教育出版，1998.