平面薄板密度函數(shù)的反演問題

朱曉彬 吳玉海

摘 要： 本文考慮了由平面薄板質(zhì)心函數(shù)反演密度函數(shù)的問題，從理論上給出了平面薄板密度函數(shù)存在性和表達(dá)式，從數(shù)值算法上給出了平面薄板密度函數(shù)近似式及其圖像。運用數(shù)值仿真兩個例子，說明了數(shù)值算法給出密度函數(shù)的近似式具有很高的精確性，從而為在一定條件下由質(zhì)心函數(shù)推演密度函數(shù)近似表達(dá)式提供了幫助。

關(guān)鍵詞： 密度函數(shù) 質(zhì)心函數(shù) 二重積分?jǐn)?shù)值算法 MATLAB

1.引言

如果已知一根非均勻的橫木在各點處的密度函數(shù)值，那么根據(jù)質(zhì)心的定義，由微積分知識很容易計算得到該橫木的質(zhì)心函數(shù)[1]。反過來，如果知道橫木在區(qū)間[0，x]（？坌x∈[0，1]）上的質(zhì)心坐標(biāo)，即已知該橫木的質(zhì)心函數(shù)，那我們能否反演出它的密度函數(shù)呢？由文獻(xiàn)2的結(jié)果可知，在一定條件下，由橫木質(zhì)心函數(shù)所決定的密度函數(shù)在差一個非零常數(shù)倍意義下是唯一的。進(jìn)一步有如下結(jié)果：當(dāng)假定整條橫木在[0，1]上的質(zhì)量，且已知質(zhì)心函數(shù)為C（x），x∈[0，1]時，則橫木密度函數(shù)為

本文要研究的是二維情況，即已知一塊平面薄板的質(zhì)心函數(shù)（包括質(zhì)心的橫坐標(biāo)函數(shù)和縱坐標(biāo)函數(shù)），能否由所給的質(zhì)心函數(shù)來唯一確定平面薄板的二維密度函數(shù)，以及如何反演出它的二維密度函數(shù)的問題。本文結(jié)構(gòu)安排如下：第二部分通過理論的推導(dǎo)，給出了密度函數(shù)的具體解析表達(dá)式。第三部分針對平面薄板質(zhì)心函數(shù)比較復(fù)雜的情況，通過將二重積分?jǐn)?shù)值算法，給出了相對簡單的由平面薄板質(zhì)心函數(shù)反演出密度函數(shù)的數(shù)值計算方法。第四部分通過兩個實例的仿真，驗證了數(shù)值算法的有效性。

2.二維薄板密度函數(shù)反演問題理論推導(dǎo)

再由薄板的質(zhì)量在[0，1]×[0，1]上為1的假設(shè)和式（1，10）知，

定理得證。

3.平面薄板密度函數(shù)反演問題的數(shù)值算法

由定理1知，我們可以通過公式（1.2）由平面薄板質(zhì)心函數(shù)計算出密度函數(shù)，但是有的時候要根據(jù)質(zhì)心函數(shù)計算密度函數(shù)不是那么簡單。事實上，很多情況下我們并不關(guān)心平面薄板密度函數(shù)具體的表達(dá)式，而是關(guān)心密度函數(shù)的大致走勢，我們只是想知道密度函數(shù)在哪些地方取值比較大，在哪些地方比較小罷了。本節(jié)給出了在滿足一定的精度下，由平面薄板質(zhì)心函數(shù)反演得到平面薄板密度函數(shù)的數(shù)值算法。

形。在數(shù)值積分的時候，把每一小正方形上平面薄板密度函數(shù)的值都看成是常數(shù)，都用該正方形下方兩頂點函數(shù)值的一半來代替，以此計算密度函數(shù)在每個小正方形上二重積分。考慮到為了要讓迭代可以進(jìn)行，首先需要定出密度函數(shù)在坐標(biāo)軸上各頂點的函數(shù)值，因此我們先通過預(yù)處理得到落在坐標(biāo)軸上小正方形各頂點處密度函數(shù)的取值，然后給出算法格式進(jìn)行迭代，從而得到各個小正方形頂點處密度函數(shù)的值。

3.1預(yù)處理過程

用同樣的方法所有落在x軸上的小正方形頂點處的薄板密度函數(shù)表達(dá)式

用同樣的方法所有落在y軸上的小正方形頂點處的薄板密度函數(shù)表達(dá)式

3.2迭代過程

求得平面薄板密度函數(shù)在落在坐標(biāo)軸上各小正方形頂點的函數(shù)值之后，接下來開始迭代，把二重積分寫成所有小正方形上的二重積分之和，然后將每一小正方形上的積分近似地表示為被積函數(shù)在小正方形下方兩頂點處值的一半乘以小正方形面積，由此可得到下面的方程：

從而有

其中i=1.2...n，j=1.2...n-1.

4.數(shù)值仿真實驗

由上面的兩個實例可知，在精度要求不是太高的情況下，我們的數(shù)值求解方法還是具有一定的有效性的。因此，在比較復(fù)雜的情況下，或者精度要求不高的情況下，我們可以使用上述數(shù)值算法由質(zhì)心函數(shù)反演出薄板密度函數(shù)的圖像。

5.研究結(jié)論與意義

本文針對平面薄板密度函數(shù)的反演問題展開討論，從理論上進(jìn)行分析推導(dǎo)，得出的結(jié)論是在質(zhì)心的橫、縱坐標(biāo)函數(shù)滿足一定條件，則其對應(yīng)的密度函數(shù)表達(dá)式可由（1.2）給出。更進(jìn)一步地從數(shù)值算法的角度進(jìn)行近似計算，由此得到密度函數(shù)在各個網(wǎng)格上的近似值，進(jìn)而得到近似密度函數(shù)的圖像。綜合理論和數(shù)值計算所得到的兩個密度函數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)近似密度函數(shù)與理論密度函數(shù)差距不是特別明顯，因此得出的結(jié)論是在精度要求不高的情況下，我們完全可以用數(shù)值計算的方法得到薄板密度函數(shù)的圖像，從而避免了直接用質(zhì)心函數(shù)計算密度函數(shù)時繁瑣的計算過程，對我們了解薄板的密度分布有很大的幫助。

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本文為江蘇大學(xué)本科生科研立項資助項目。