關于解不等式的幾種方法

〔關鍵詞] 中學數學教學;不等式;求解;函數圖象;

特殊定理

〔中圖分類號] G633.62〔文獻標識碼] C

〔文章編號] 1004—0463(2010)04(A)—0051—01

關于不等式的求解，除了可以按照書本上的有關基本概念和性質解答外，我們還可以用許多其他方法來解答.下面，就來介紹幾種比較特殊的方法.

利用函數的連續性

例1:已知a>0，解關于x的不等式■>2x+a.

解:令f(x)=■-2x-a，則f(x)的定義域是[-a，a].

方程f(x)=0的根是x=0，x=-■a，它把定義域分為三個區間:[-a，-■a)，(-■a，0)，(0，a].

在區間[-a，-■a)內取x=-■a，得f(-■a)>0，所以[-a，-■a)在原不等式的解集中;

在區間[-■a，0)內取x=-■，得f(-■)>0，所以[-■a，0)在原不等式的解集中;

在(0，a]內取x=■a，得f(■a)<0，所以(0，a]不在原不等式的解集中.所以，原不等式的解集為[-a，0).

利用函數圖象

例2:已知f(x)=x2-6x+5，問滿足f(x)+f(y)≤0和f(x)-f(y)≥0的點(x，y)在平面上的范圍，并畫出圖象.

解:f(x)+f(y)=x2-6x+5+y2-6y+5

=(x-3)2+(y-3)2-8≤0 . (1)

滿足(1)的點(x，y)在以(3，3)為中心，以2■為半徑的圓內或圓上.

又f(x)-f(y)=(x2-6x+5)-(y2-6y+5)=x2-y2-6x+6y =(x-y)(x+y-6)≥0，于是有

(Ⅰ)x-y≥0 x+y-6≥0 或(Ⅱ)x-y≤0x+y-6≤0.

顯然，滿足不等式(Ⅰ)的點(x，y)是既在直線x-y=0的下方，又在直線x+y-6=0上方的點集.

滿足不等式(Ⅱ)的點(x，y)是既在直線x-y=0的上方，又在直線x+y-6=0的下方的點集.如左圖所示.

所以，滿足已知條件的點(x，y)在直角扇形AO'B和CO'D內(包括周界上)，即圖中的陰影部分.

利用特殊定理

可用以下兩個定理解兩種類型的絕對值不等式:

定理1若存在常數m≥n>0，能使對于定義域中的任何x，都有mf(x)+nφ(x)≥0，則不等式│f(x)│>φ(x)與不等式f(x)>φ(x) 同解(證明略).

定理2若存在常數m>n>0，能使對于定義域中的任何x，都有mf(x)-nφ(x)≥0，則不等式│f(x)│<φ(x)與不等式f(x)<φ(x) 同解(證明略).

例3:解不等式│x2+2x│-│x2+x│>5-2x.

解:原不等式可化為│x2+2x│>│x2+x│+5-2x.

不等式的定義域為R，對于任何x∈R，都有(x2+2x)+(5-2x+│x2+x│)=x2+5+│x2+x│>0，由定理1可知，原不等式同解于x2+2x>5-2x+│x2+x│.

即:│x2+x│0.

由定理2可知，不等式│x2+x│0，x>■.

所以，原不等式的解集是{x│x>■｝.

利用重要的不等式

琴生不等式設函數y=f(x)在區間I上是凸函數，則對于任意x1，x2，…，xn∈I和任意a1，a2，…，an∈R，且a1+a2+…+an=1，有f(a1x1+a2x2+…+anxn)≥a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn)，當且僅當x1=x2=…=xn時，等號成立.

推論:設函數y=f(x)在區間I上是凸函數，則對于任意的x1，x2，…xn∈I，有

f(x1)+f(x2)+…+f(xn)≤nf(■).

例4:已知A，B，C是銳角三角形的三個內角，求cosA+cosB+cosC的最大值.

解:根據上面的推論，因為函數y=cos x在區間(0，■)內是上凸函數，則對于A，B，C在(0，■)內，有cosA+cosB+cosC≤3cos■，即:cosA+cosB+cosC≤3cos■.