Mathematica在“平拋運動”教學中的應用

尋銀錠，詹杰

(湖南科技大學 物理與電子科學學院，湖南 湘潭 411201)

Mathematica是一款集數值計算、符號計算、仿真模擬、圖形處理等多種功能于一身的應用軟件，能夠完成繁雜的符號運算、高精度的數值計算及數學圖形的繪制甚至動畫制作等多種操作，是利用現代信息技術進行物理教學的有力工具［1］。Mathematica能對物理問題建立數學模型，能精確、動態地仿真模擬實驗。在物理課堂教學中，可以借助Mathematica軟件的仿真模擬功能，將一些抽象的物理過程和物理知識生動地展示出來，從而有助于學生對物理知識的理解，提高物理課堂教學的效率。

1 平拋運動實驗教學現狀

平拋物體的運動是高中物理中的一個重點教學內容。作為學生接觸的第一種曲線運動，平拋運動過程中物體的受力分析、運動方向的變化以及運動軌跡都極易使學生產生困惑。雖然教師講解時可以輔以演示實驗幫助說明平拋物體運動的特點和原理，但是演示實驗的瞬時性和不可再現性，往往不利于演示目標的實現。因而，平拋運動成為高中物理教學中的一個難點［2］。人教版《物理·必修2》教材中提供了多種實驗方案［3］。在實際教學過程中，按教材介紹的實驗方法進行操作時，存在以下不足之處。

方案一:利用實驗室的斜面小槽等器材裝配如圖1所示的裝置。鋼球從斜槽上滾下，沖過水平槽飛出后做平拋運動。每次都使沾墨的鋼球在斜槽上同一位置滾下，描出小球經過的位置。通過多次實驗，在豎直白紙上記錄鋼球所經過的多個位置，以得到鋼球做平拋運動的軌跡［4］。但方案一實驗器材的組裝和調試既費時又費力，軌跡點的定位操作難度大，準確率低且效果不理想［3］。

方案二:如圖2所示，倒置的飲料瓶內裝著水(實驗時水不能低于A 細管)，瓶塞內插著兩根兩端開口的細管，其中一根彎成水平，且水平端加接一段更細的硬細管作為噴嘴。水從噴嘴中射出，在空中形成彎曲的細水柱，它顯示了平拋運動的軌跡，將它描在背后的紙上就能進行相應的分析處理［4］。方案二是一個器材易得、便于操作、可行性較高的實驗方案。但操作的時候常擔心隨著水位下降，水流速度降低，影響實驗所得軌跡的準確性和穩定性，不利于得到平拋運動軌跡［5］。

方案三:用數碼照相機或數碼攝影機記錄平拋運動的軌跡。方案三雖然具有科學準確的特點，但不少學校因條件有限，僅有一兩套數字化實驗器材，不能滿足學生分組實驗的要求。同時，學生對于實驗原理也不易理解［3］。

目前，采用計算機輔助物理教學的方式有多種，購買商品化的PPT，采用Authorware、Flash等軟件自己制作等，這些方式各有特點，但也存在一些問題，購買商品化的軟件不一定符合教學班的實際情況，有些界面做得很炫，吸引了學生的注意力，削弱了教學效果，也無法根據教師的想法變化。針對以上情況，我們提出應用Mathematica制作帶強交互性的平拋運動虛擬實驗以方便該課程教學。

圖1 平拋運動實驗方案一裝置

圖2 平拋運動實驗方案二裝置

2 平拋運動模型的制作

2.1 平拋運動知識點的分解

平拋運動，是指物體以一定的初速度水平方向拋出，如果物體僅受重力作用時所做的運動，可分解為水平方向的勻速直線運動以及豎直方向的自由落體運動的合運動。

2.2 模型設計

為了學生更好地理解平拋運動，這個物理模型里同時模擬了自由落體運動和平拋運動。紅色的小球做自由落體運動，綠色的小球做平拋運動。紅色的小球初速度為零，只受重力作用，豎直加速度為g。綠色的小球有水平初速度V0，只受重力作用，因此豎直加速度也為g。

在平拋運動中有兩個控制變量，初速度V0:{V0，1，V0max}，運動時間tmax:{tmax，0，tfinal}，另外為更好地展示運動情況也可以把時間間隔dt:{dt，0.1，1}設置為控制變量。在應用Mathematica的模型制作中，我們應用了一個簡單的命令Manipulate［expr，{u，umin，umax}］，創造出豐富的交互應用，其中expr 為任圖形的表達式，{u，umin，umax}用于生成一個操作尺(滑尺)，控制變量u 從umin到umax 變化。

Disk［{x，y}，r］是Mathematica中的一個二維圖形命令，用來表示以點為x、y中心，r 為半徑的圓，我們采用這個命令來表示運動的小球。半徑r 設置為1.5，x、y分別為含有t的表達式或者含有t的自定義函數。自由落體運動的紅色小球和平拋運動的綠色小球在豎直方向的運動方程都是h=gt2/2，自定義函數為y［t_］:=－4.9* t^2(注:g 取9.8 m/s2)。在水平方向，自由落體運動x=0，平拋運動x= V0* t。所以自由落體運動的小球:Disk［{0，y［t］}，1.5］，平拋運動的小球:Disk［{V0* t，y［t］}，1.5］。

程序如下:

y［t_］:=－4.9* t^2;v0max=30;tfinal=6;dt=0.1;

Manipulate［Show@Table［Graphics［{Red，Disk［{0，y［t］}，1.5］，Green，Disk［{v0* t，y［t］}，1.5］}，Frame－＞True，GridLines－＞Automatic，GridLinesStyle－＞Directive［Orange，Dashed］，PlotRange－＞{{－1，v0max* tfinal+5}，{－4.9* tfinal^2+5，2}}］，{t，0，tmax，dt}］，{v0，1，v0max}，{dt，0.1，1}，{tmax，0，tfinal}］

其中，Graphics 是二維圖形命令，用于繪制兩個不同顏色的小球，一個紅色，一個綠色。Show@Table是復合函數，用來同時展示每一次時間間隔后的兩個不同小球的位置。

2.3 模型在教學中的應用

該程序同時按下Shift和Enter 鍵即可運行，如圖3所示，點開V0，dt，tmax 右邊的加號(圖3中橢圓圈處)，就會出現圖4所示界面，可在V0和dt 下方的文本框中分別設置初速度和小球顯示的時間間隔，也可采用滑塊(圖4中小紅矩形框選處)設置初速度和時間間隔。按下播放鍵(圖4中小矩形框處)，就可以看到自由落體和平拋運動的運動過程。學生很容易就能發現在模擬實驗過程中，平拋運動小球和自由落體運動的小球總是同時到達同一個高度，可據此推斷平拋運動在豎直方向的運動是自由落體運動。

圖3 平拋運動仿真程序界面

圖4 仿真界面初始值設置

在坐標系中將鼠標移到小球的軌跡上點擊右鍵，則可獲取該時刻對應的橫坐標和縱坐標。圖5 是V0=16 m/s，t=4 s時綠色小球的坐標。通過時間間隔dt的設置可以更清楚地了解不同時間間隔小球的運動情況，可以更好地幫助學生理解自由落體運動和平拋運動。圖6 是V0=16 m/s，t=5.6 s，時間間隔dt=0.7 s的圖像，平拋物體的運動軌跡為一拋物線。在相同時間間隔，越往下小球相隔的豎直距離越大。為演示效果，將dt 設置為1 s 或者0.5 s，再次重復實驗，學生可通過獲取平拋運動小球的各個縱坐標，探究平拋運動小球豎直位移和時間的關系。學生亦可通過獲取平拋運動小球多個橫坐標，計算出相同時間間隔的水平位移相等，推斷出平拋運動在水平方向的運動是勻速直線運動。

圖5 dt為0.1 s時的仿真結果

圖6 dt為0.7 s時的仿真結果

改變初速度V0=16 m/s，時間間隔dt=0.1 s，單擊tmax后面的播放鍵，能清楚地看到兩個小球運動的整個過程。圖7 是初速度V0=16 m/s，時間間隔dt=0.1 s的兩個不同時刻的截圖，其中a是t=4.08 s時的截圖，b 是t=5.8 s時的截圖。改變小綠球的水平初速度V0=26 m/s，重復模擬實驗。圖8、圖9 是初速度V0=26 m/s，時間間隔dt=0.1 s的兩個不同時刻的截圖。從4個截圖可以看到自由落體的小紅球和平拋運動的小綠球總是同時到達同一高度，這說明平拋運動在豎直方向的分運動確是自由落體運動，運動時間只與豎直高度有關。學生不難從4個截圖中得出結論，在同一時刻水平初速度大者水平位移大，小球水平位移與時間及水平初速度有關。

使用Mathematica制作的平拋運動的仿真實驗，學生可以任意設置初速度、時間間隔等參數，可以隨時暫停平拋運動，也可以獲取任何需要的坐標，可通過對平拋運動仿真實驗的觀察，總結平拋運動規律。通過這種方式的學習，學生對平拋運動不僅有感性的認識亦有理性的理解。

圖7 不同時刻的截圖

圖8 初速度改變后截圖對比

圖9 初速度改變后截圖對比

3 結語

應用Mathematica軟件制作了中學物理的一個重要教學內容——平拋運動，其設計過程簡單，容易學習，可以生動形象地在課堂上仿真平拋運動過程，還可以通過調節參數，實時動態地模擬平拋運動的運動情況，增強教學的生動性，形象性和互動性;另外教師也能根據學生的實際情況隨意增刪內容，加深學生的感性認識，使學生更深刻地理解其中的物理規律。

［1］荊麗梅.Mathematica軟件在物理教學中的應用［J］.湖南中學物理，2012(5):75－76.

［2］馬秀峰.多媒體CAI課件“平拋運動”的開發與應用［J］.現代計算機，2002(137):59－61.

［3］劉悅.研究平拋運動實驗方案的改進［J］.物理通報，2013(8):75.

［4］物理課程教材研究開發中心.物理必修2［M］.人民教育出版社，2004.

［5］李家明.“研究平拋運動”實驗的改進［J］.中小學實驗與裝備，2012，22(1):33.