利用數(shù)學(xué)巧學(xué)《電磁場(chǎng)理論》課程

□原立格

一、引言

《電磁場(chǎng)理論》課程是電子類、通信專業(yè)的專業(yè)必修基礎(chǔ)課程，學(xué)習(xí)過程中學(xué)生普遍覺得《電磁場(chǎng)》課程學(xué)起來(lái)難度大、數(shù)學(xué)公式多、邏輯推理性強(qiáng)。《電磁場(chǎng)理論》課程的先修課程是《高等數(shù)學(xué)》和《大學(xué)物理》。本文通過分析、探討《高等數(shù)學(xué)》內(nèi)容及其學(xué)習(xí)方法巧學(xué)電磁場(chǎng)課程，從而讓每一位學(xué)習(xí)者都能掌握住快速學(xué)習(xí)電磁場(chǎng)課程的技巧。

二、電磁場(chǎng)中數(shù)學(xué)的分布

《電磁場(chǎng)理論》課程學(xué)習(xí)之前首先需要學(xué)習(xí)《工程數(shù)學(xué)》也就是“矢量分析”部分，該部分的內(nèi)容有:矢量代數(shù)、矢量分析、場(chǎng)、數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度、矢量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度、矢量場(chǎng)的通量和散度、矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度、有勢(shì)場(chǎng)、管形場(chǎng)、調(diào)和場(chǎng)、哈密頓算子、正交曲線坐標(biāo)系和赫姆霍茲定理。《工程數(shù)學(xué)》是《高等數(shù)學(xué)》中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于《電磁場(chǎng)理論》中的一個(gè)過渡。電磁場(chǎng)理論知識(shí)部分包含的內(nèi)容有:靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)、恒定磁場(chǎng)和時(shí)變電磁場(chǎng)，這四個(gè)場(chǎng)中場(chǎng)的基本方程、場(chǎng)的邊界條件都離不開數(shù)學(xué)公式表達(dá)式;研究波傳播形式的“平面電磁波”和“導(dǎo)行電磁波”更是通過分析描述波形的方程分析波的傳播情況。電磁波的輻射部分有基本振子的輻射、天線的電參數(shù)、簡(jiǎn)單的線天線介紹——對(duì)稱振子與天線陣、面天線輻射場(chǎng)分析都是需要數(shù)學(xué)模型的建立，進(jìn)而分析場(chǎng)的情況。在電磁場(chǎng)中還有研究電磁場(chǎng)與電磁波的一些方法:唯一性定理、鏡像法、分離變量法、復(fù)變函數(shù)法、有限差分法、有限元法等。

三、電磁場(chǎng)中用到的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

《電磁場(chǎng)理論》課程中用的數(shù)學(xué)知識(shí)概括起來(lái)兩點(diǎn)是:方程的微分形式與積分形式。從《電磁場(chǎng)理論》課程知識(shí)點(diǎn)分析，該課程中的核心內(nèi)容是“麥克斯韋方程組”，整個(gè)電磁場(chǎng)理論的分析過程中都遵循著“赫姆霍茲定理”。赫姆霍茲定理的內(nèi)容是:空間有限區(qū)域內(nèi)的任一矢量場(chǎng)，由它的散度、旋度和邊界條件唯一地確定。電磁場(chǎng)中處于重要地位的“梯度”、“散度”和“旋度”在《工程數(shù)學(xué)》部分中從《高等數(shù)學(xué)》知識(shí)向《電磁場(chǎng)理論》理論方面應(yīng)用做好了準(zhǔn)備。

梯度式子分析:高數(shù)中的一階偏微分形式賦予方向性，

賦予一定的物理含義。

式(2)此微分形式可以改寫為:

式(3)在《電磁場(chǎng)理論》課程中有名的“散度定理”，又名“高斯定理”。在《高等數(shù)學(xué)》課程中式(3)就是有名的“體積分與面積分”轉(zhuǎn)換公式——“高斯公式”。

式(4)此微分形式可以改寫為積分形式:

式(5)在《電磁場(chǎng)理論》課程中就是有名的“斯托克斯定理”，在《高等數(shù)學(xué)》課程中該式子是“格林公式”推廣后的“斯托克斯”公式，“面積分與線積分”轉(zhuǎn)換公式。

麥克斯韋方程組:

全電流定律——麥克斯韋第一方程

法拉第定律——麥克斯韋第二方程

高斯定理——麥克斯韋第三方程

磁通連續(xù)性原理——麥克斯韋第四方程

麥克斯韋方程組是在“靜電場(chǎng)”、“恒定電場(chǎng)”、“恒定磁場(chǎng)”的基礎(chǔ)上，并由麥克斯韋提出“位移電流假說(shuō)”前提下總結(jié)出來(lái)的一切電磁場(chǎng)遵循的方程。“麥克斯韋方程組+邊界條件”就可以研究一切有限區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)。

“平面電磁波”和“導(dǎo)行電磁波”研究時(shí)利用的是電磁波的微分形式，還利用了“拉普拉斯算子”。

四、數(shù)學(xué)知識(shí)引出電磁場(chǎng)理論知識(shí)

《高等數(shù)學(xué)》是在學(xué)習(xí)《電磁場(chǎng)理論》課程前就修完的課程，相對(duì)來(lái)說(shuō)在學(xué)習(xí)者的內(nèi)心感覺對(duì)高數(shù)知識(shí)不陌生，因此從數(shù)學(xué)式子入手引入一定的物理意義分析。

(一)梯度。梯度:引出梯度之前介紹了方向?qū)?shù)，推導(dǎo)出梯度之后給梯度賦予一定的物理意義。第一，標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù);第二，任何一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)都可以由它的梯度和在某一點(diǎn)上的值唯一確定;第三，梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù)的最大變化率，即該點(diǎn)最大方向?qū)?shù);第四，梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向，即與等值線(面)相垂直的方向，它指向函數(shù)增加的方向;第五，函數(shù)φ在給定點(diǎn)沿任意L方向的方向?qū)?shù)等于函數(shù)φ的梯度在L方向上的投影(見圖1)。

圖1 三維高度場(chǎng)的梯度

(二)高度場(chǎng)的梯度。高度場(chǎng)的梯度:一是與過該點(diǎn)的等高線垂直;二是數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最大變化率;三是指向地勢(shì)升高的方向。

(三)電位場(chǎng)的梯度。電位場(chǎng)的梯度:一是與過該點(diǎn)的等位線垂直;二是數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù);三是指向電位增加的方向(見圖2)。

圖2 電位場(chǎng)的梯度

(四)散度。散度:引出散度之前介紹了通量，介紹通量時(shí)就賦予一定的物理含義，如圖3。進(jìn)而介紹通量關(guān)于體積的變化率引出散度，如圖4。

圖3 矢量E沿有向曲面S的面積分

(五)旋度。旋度:引出旋度之前介紹了環(huán)量，并賦予一定的物理含義，如圖5。進(jìn)而介紹環(huán)量關(guān)于面積的變化率引出旋度，如圖6。

圖4 通量關(guān)于體積的變化率

圖5 矢量E沿有向曲的線積分

圖6 環(huán)量關(guān)于面積的變化率

(六)麥克斯韋方程組。麥克斯韋方程組:引出“位移電流假說(shuō)”時(shí)數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)是從靜態(tài)場(chǎng)中尋找式子的平衡點(diǎn)，當(dāng)不平衡時(shí)補(bǔ)充上一個(gè)電流即為“位移電流密度”;物理含義理解時(shí)以連入電路的電容極板分析，利用斯托斯克定理分析得出矛盾進(jìn)而引出“位移電流密度”。在靜態(tài)場(chǎng)和位移電流的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出“麥克斯韋方程組”。

五、結(jié)語(yǔ)

總結(jié)《電磁場(chǎng)理論》課程與《高等數(shù)學(xué)》課程間關(guān)系，學(xué)習(xí)時(shí)利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)賦予一定的物理含義來(lái)學(xué)習(xí)《電磁場(chǎng)理論》，在學(xué)習(xí)時(shí)可以達(dá)到思路明了、邏輯推理簡(jiǎn)單化，有總結(jié)性質(zhì)的學(xué)習(xí)課程。利用這種方法可以消除或減弱學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)《電磁場(chǎng)理論》課程的恐懼心理，起到事半功倍的效果。

［1］馬海武，毛力．電磁場(chǎng)與電磁波［M］．北京:人民郵電出版社，2009

［2］謝處方，饒克勤．電磁場(chǎng)與電磁波［M］．北京:高等數(shù)學(xué)出版社，2006，第4版

［3］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編．高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))［M］．北京:高等數(shù)學(xué)出版社，2012

［4］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編．高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))［M］．北京:高等數(shù)學(xué)出版社，2012

［5］原立格，梁妍，閆曾．獨(dú)立學(xué)院《電磁場(chǎng)理論》課程教學(xué)改革研究［J］．辦公自動(dòng)化，2015