在比較中有序 在有序中創造

錢建兵

數學學習不應被看成是知識的簡單積累，而是一種創造性的思維活動。因此，有效教學活動策略應著眼于學生的思維發展，培養學生形成良好的思維習慣，積累數學活動的經驗。

教學蘇教版小學數學第五冊“觀察物體”一課，教材第89頁中有這樣一道題：

一、課前思考

教學第（2）問時，如果照本宣科，讓學生一擺了之，這樣的操作只是基于直觀上的驗證，對學生空間觀念和思維的發展作用不大。適當的教學策略，能夠豐盈思維活動的過程，引導學生從“經歷”走向“經驗”，不僅可以豐富學生的數學活動經驗，使學生在操作中學會有序地思考幾種不同的擺法，以此發展學生的空間觀念，而且還能促使學生養成有序思考的習慣。良好的思維習慣是在平常點滴的學習活動中積累而成的，數學活動經驗的積累也是一個循序漸進的過程。教師應抓住每一次教學活動，哪怕是一道習題的教學，促進學生形成良好的思維品質。

二、教學片段

學生擺出了四種擺法。

擺法1 擺法2 擺法3 擺法4

1.分類中有序。

師：這4種擺法可以怎樣分類？

生1：1、3歸一類，因為它們前排是2個，后排是1個；2、4是一類，它們前排是1個，后排是2個。

師：這是根據前后兩排個數的不同分類的。

生2：也可以把1、2歸一類，因為它們左邊都是2個，右邊是1個；3、4是一類，左邊都是1個，右邊是2個。

2.比較中發現。

師：第2種擺法與第1種相比，左邊都是兩個正方體，但右邊的一個后移了，從正面看為什么還是一樣的呢？

生1：第2種擺法右邊的一個雖然移到后面一排了，但從正面看到的還是它前面這一個面。

生2：雖然移到后面去了，但是前面沒有遮擋，所以還是看到這個面。

生3：1和3相比，前排都是2個，后排雖然移動了，但從正面看沒變，因為后面的被擋住了，看不到。

生4：2和4相比，后排的不變，前排移動，但正面看到的還是一樣。

3.在比較中創造。

教學至此，準備引導學生有序地說一說這4種擺法。此時，生5（很激動地說）：我想到了一種新的擺法！還可以將右邊一個再往后移一排，擺成這樣：

擺法5

應該說，這不能算一種，因為后一個正方體和其他正方體沒有公共面。但從正面看確實沒有變，應該肯定學生的這種想法。

師：真會思考！因為右邊的小正方體前后移動時，從前面看到的都一樣。

生5：還可以移到前面來！

擺法6

師：看來，物體前后移動，我們從正面看到的都一樣。

很快，學生又想到了下面兩種“擺法”。

擺法7 擺法8

師：這些擺法可以怎么分類呢？

生：可以分兩類，擺法1、2、5、6，左邊都是2個正方體，右邊一個可以依次擺在不同位置，4種擺法一類；擺法3、4、7、8，右邊都是2個正方體，左邊一個可以依次擺在不同位置，4種擺法另一類。

此時，生4提出：我又想到了一種方法！

生4走上講臺邊擺邊說：我把右邊的放到中間，又可以得到一種。

師（不置可否）：這能不能算一種不同的方法呢？

生1：不能。如果算的話再移一點兒，又有一種，可以有無數種了。

生2：這樣擺的話右邊一個在中間，就看不出是擺了幾排。

（生4心悅誠服地回到了位置上。）

一波剛平，一波又起。

此時，生5又叫了起來：我想到了！

生5跑到講臺，如同變魔術一樣，將3個正方體擺成如下圖形狀。

擺法9

（大家表示同意。）

師：你是怎么想到的？

生5：剛才生4擺的時候，我就想到了要把左邊兩個分開來，這樣就成了3排，而后面一個向后移動，正面看不到。

生6：那還可以這樣擺。

擺法9

4.比較中辨別。

師：我們再來比一比，一開始的4種擺法與我們后來創造的6種擺法，它們之間有區別嗎？

生：前面4種擺法每兩個正方體都有一個面相重合的，而后面6種擺法，有的正方體之間只是棱相重合。

師：是的。雖然這6種擺法從正面看，看到的都一樣，但也不能算是正確的。因為要像前4種擺法一樣，兩個正方體之間要——

生（齊）：有公共面。

三、教學反思

教學中，教師注重過程，以比較的策略引導學生有序思考，在比較、分類活動中厘清事物的本質屬性，深化了認識。

1.在比較中發展學生有序思考的能力。

有序思考是良好思維品質的表現。組織有效的分類、比較活動，能使學生的思維從無序走向有序。從數學思維方法的角度來看，比較和分類往往是聯系在一起的，也即只有當研究的對象能夠被分成若干類別時，才有進一步加以比較的必要。學生一開始找到了4種擺法，但只注重了不同的方法，沒有自主地按序思考。三個正方體要從正面看是，只能排一層，按左右兩排個數不同分為左二右一和左一右二兩類，或者按前后兩排個數的不同分類。在分類過程中引導學生觀察比較4種擺法之間的聯系，視角從求異引向求同，思維從混沌走向清晰。但學生對于如何才能做到有序，還缺少思維的推手，再次引導學生進行深入比較，是同中求異，學生的思維從無序走向有序。在引導學生對左二右一兩種擺法的比較過程中，學生感受到了有序思考，思維走向深刻。在“變”與“不變”的比較中，逐步清晰順序，認識問題的本質。正是在這樣的活動經歷中，學生才能積累相關經驗。可喜的是，學生在體驗序的過程中，發現了新的“擺法”，這是在對序的深刻理解的基礎上發現的。

2.在有序思考中發展學生的空間想象力。

觀察物體的教學要以發展學生的空間觀念和空間想象力為出發點和歸宿。通過引導學生有序地觀察、有序地思考，從而讓學生感悟到，從正面觀察，有時前、后、左、右移動是不改變觀察結果的。只有這樣學生才根據已有的四種方法，發現新的“擺法”，雖然不正確，但這是學生思考創造的結果。在這個過程中，學生的空間觀念得到發展。由左二右一發現新的擺法，推想左一右二的新擺法，在看不到的情形下推想正方體的位置關系，這是學生在邏輯上對物體的空間關系進行想象與分析，有效培養了學生的空間想象力和空間觀念。

3.在比較中發展學生的創造能力。

正是有了對左二右一擺法的比較，學生認識到前后移動右邊的一個正方體，從前面看到的不變。受此啟發，學生理解了可將右邊的正方體再向后移，思考到了擺法5。由于教師沒有簡單否定，于是相繼有了擺法6、7、8，這些創造正是基于比較的結果。通過移動正方體，創造性地拓展了空間。于是學生想到：因為擺在中間不能看出擺了幾排，所以，把左邊兩個正方體分開，而不影響正面觀察的結果，這樣就成了3排。空間的拓展使得學生的空間觀念、空間想象力得以發展。這是學生創造力的展現。必須要指出的是，教學中要重視讓學生在獨立思考的基礎上相互啟發，師生之間以一種科學的態度共同探索，甚至是處于膠著的對話狀態，不斷切蹉，共同尋找真理。營造相互討論、相互尊重的氛圍，注重過程，延長學生獲得結論的時間，多一些討價還價的交流，對于發展學生的創造能力大有裨益。

4.在比較中把握事物的本質。

面對學生的這些創造，如何讓他們認識到這些擺法自身的缺陷？比較是確定對象之間異同的一種邏輯方法，可以把兩種或兩種以上互相聯系而又有差異的知識，分別進行分析、區別、歸納，辨析異同，把握事物的本質屬性。純粹地定義什么是正確擺法，學生理解起來普遍存在一定困難。而恰到好處地運用比較，有助于學生準確地區分，從而更深刻認識正確擺放的具體要求。

比較思維是數學學習中的重要思維方式。分類、比較是提高課堂教學效率的有效策略。在教學中合理組織比較，它能深化學生對數學概念的理解，提高解題的靈活性和創造性，增強思維的批判性。

◇責任編輯：張 瑩◇

數學學習不應被看成是知識的簡單積累，而是一種創造性的思維活動。因此，有效教學活動策略應著眼于學生的思維發展，培養學生形成良好的思維習慣，積累數學活動的經驗。

教學蘇教版小學數學第五冊“觀察物體”一課，教材第89頁中有這樣一道題：

一、課前思考

教學第（2）問時，如果照本宣科，讓學生一擺了之，這樣的操作只是基于直觀上的驗證，對學生空間觀念和思維的發展作用不大。適當的教學策略，能夠豐盈思維活動的過程，引導學生從“經歷”走向“經驗”，不僅可以豐富學生的數學活動經驗，使學生在操作中學會有序地思考幾種不同的擺法，以此發展學生的空間觀念，而且還能促使學生養成有序思考的習慣。良好的思維習慣是在平常點滴的學習活動中積累而成的，數學活動經驗的積累也是一個循序漸進的過程。教師應抓住每一次教學活動，哪怕是一道習題的教學，促進學生形成良好的思維品質。

二、教學片段

學生擺出了四種擺法。

擺法1 擺法2 擺法3 擺法4

1.分類中有序。

師：這4種擺法可以怎樣分類？

生1：1、3歸一類，因為它們前排是2個，后排是1個；2、4是一類，它們前排是1個，后排是2個。

師：這是根據前后兩排個數的不同分類的。

生2：也可以把1、2歸一類，因為它們左邊都是2個，右邊是1個；3、4是一類，左邊都是1個，右邊是2個。

2.比較中發現。

師：第2種擺法與第1種相比，左邊都是兩個正方體，但右邊的一個后移了，從正面看為什么還是一樣的呢？

生1：第2種擺法右邊的一個雖然移到后面一排了，但從正面看到的還是它前面這一個面。

生2：雖然移到后面去了，但是前面沒有遮擋，所以還是看到這個面。

生3：1和3相比，前排都是2個，后排雖然移動了，但從正面看沒變，因為后面的被擋住了，看不到。

生4：2和4相比，后排的不變，前排移動，但正面看到的還是一樣。

3.在比較中創造。

教學至此，準備引導學生有序地說一說這4種擺法。此時，生5（很激動地說）：我想到了一種新的擺法！還可以將右邊一個再往后移一排，擺成這樣：

擺法5

應該說，這不能算一種，因為后一個正方體和其他正方體沒有公共面。但從正面看確實沒有變，應該肯定學生的這種想法。

師：真會思考！因為右邊的小正方體前后移動時，從前面看到的都一樣。

生5：還可以移到前面來！

擺法6

師：看來，物體前后移動，我們從正面看到的都一樣。

很快，學生又想到了下面兩種“擺法”。

擺法7 擺法8

師：這些擺法可以怎么分類呢？

生：可以分兩類，擺法1、2、5、6，左邊都是2個正方體，右邊一個可以依次擺在不同位置，4種擺法一類；擺法3、4、7、8，右邊都是2個正方體，左邊一個可以依次擺在不同位置，4種擺法另一類。

此時，生4提出：我又想到了一種方法！

生4走上講臺邊擺邊說：我把右邊的放到中間，又可以得到一種。

師（不置可否）：這能不能算一種不同的方法呢？

生1：不能。如果算的話再移一點兒，又有一種，可以有無數種了。

生2：這樣擺的話右邊一個在中間，就看不出是擺了幾排。

（生4心悅誠服地回到了位置上。）

一波剛平，一波又起。

此時，生5又叫了起來：我想到了！

生5跑到講臺，如同變魔術一樣，將3個正方體擺成如下圖形狀。

擺法9

（大家表示同意。）

師：你是怎么想到的？

生5：剛才生4擺的時候，我就想到了要把左邊兩個分開來，這樣就成了3排，而后面一個向后移動，正面看不到。

生6：那還可以這樣擺。

擺法9

4.比較中辨別。

師：我們再來比一比，一開始的4種擺法與我們后來創造的6種擺法，它們之間有區別嗎？

生：前面4種擺法每兩個正方體都有一個面相重合的，而后面6種擺法，有的正方體之間只是棱相重合。

師：是的。雖然這6種擺法從正面看，看到的都一樣，但也不能算是正確的。因為要像前4種擺法一樣，兩個正方體之間要——

生（齊）：有公共面。

三、教學反思

教學中，教師注重過程，以比較的策略引導學生有序思考，在比較、分類活動中厘清事物的本質屬性，深化了認識。

1.在比較中發展學生有序思考的能力。

有序思考是良好思維品質的表現。組織有效的分類、比較活動，能使學生的思維從無序走向有序。從數學思維方法的角度來看，比較和分類往往是聯系在一起的，也即只有當研究的對象能夠被分成若干類別時，才有進一步加以比較的必要。學生一開始找到了4種擺法，但只注重了不同的方法，沒有自主地按序思考。三個正方體要從正面看是，只能排一層，按左右兩排個數不同分為左二右一和左一右二兩類，或者按前后兩排個數的不同分類。在分類過程中引導學生觀察比較4種擺法之間的聯系，視角從求異引向求同，思維從混沌走向清晰。但學生對于如何才能做到有序，還缺少思維的推手，再次引導學生進行深入比較，是同中求異，學生的思維從無序走向有序。在引導學生對左二右一兩種擺法的比較過程中，學生感受到了有序思考，思維走向深刻。在“變”與“不變”的比較中，逐步清晰順序，認識問題的本質。正是在這樣的活動經歷中，學生才能積累相關經驗。可喜的是，學生在體驗序的過程中，發現了新的“擺法”，這是在對序的深刻理解的基礎上發現的。

2.在有序思考中發展學生的空間想象力。

觀察物體的教學要以發展學生的空間觀念和空間想象力為出發點和歸宿。通過引導學生有序地觀察、有序地思考，從而讓學生感悟到，從正面觀察，有時前、后、左、右移動是不改變觀察結果的。只有這樣學生才根據已有的四種方法，發現新的“擺法”，雖然不正確，但這是學生思考創造的結果。在這個過程中，學生的空間觀念得到發展。由左二右一發現新的擺法，推想左一右二的新擺法，在看不到的情形下推想正方體的位置關系，這是學生在邏輯上對物體的空間關系進行想象與分析，有效培養了學生的空間想象力和空間觀念。

3.在比較中發展學生的創造能力。

正是有了對左二右一擺法的比較，學生認識到前后移動右邊的一個正方體，從前面看到的不變。受此啟發，學生理解了可將右邊的正方體再向后移，思考到了擺法5。由于教師沒有簡單否定，于是相繼有了擺法6、7、8，這些創造正是基于比較的結果。通過移動正方體，創造性地拓展了空間。于是學生想到：因為擺在中間不能看出擺了幾排，所以，把左邊兩個正方體分開，而不影響正面觀察的結果，這樣就成了3排。空間的拓展使得學生的空間觀念、空間想象力得以發展。這是學生創造力的展現。必須要指出的是，教學中要重視讓學生在獨立思考的基礎上相互啟發，師生之間以一種科學的態度共同探索，甚至是處于膠著的對話狀態，不斷切蹉，共同尋找真理。營造相互討論、相互尊重的氛圍，注重過程，延長學生獲得結論的時間，多一些討價還價的交流，對于發展學生的創造能力大有裨益。

4.在比較中把握事物的本質。

面對學生的這些創造，如何讓他們認識到這些擺法自身的缺陷？比較是確定對象之間異同的一種邏輯方法，可以把兩種或兩種以上互相聯系而又有差異的知識，分別進行分析、區別、歸納，辨析異同，把握事物的本質屬性。純粹地定義什么是正確擺法，學生理解起來普遍存在一定困難。而恰到好處地運用比較，有助于學生準確地區分，從而更深刻認識正確擺放的具體要求。

比較思維是數學學習中的重要思維方式。分類、比較是提高課堂教學效率的有效策略。在教學中合理組織比較，它能深化學生對數學概念的理解，提高解題的靈活性和創造性，增強思維的批判性。

◇責任編輯：張 瑩◇

數學學習不應被看成是知識的簡單積累，而是一種創造性的思維活動。因此，有效教學活動策略應著眼于學生的思維發展，培養學生形成良好的思維習慣，積累數學活動的經驗。

教學蘇教版小學數學第五冊“觀察物體”一課，教材第89頁中有這樣一道題：

一、課前思考

教學第（2）問時，如果照本宣科，讓學生一擺了之，這樣的操作只是基于直觀上的驗證，對學生空間觀念和思維的發展作用不大。適當的教學策略，能夠豐盈思維活動的過程，引導學生從“經歷”走向“經驗”，不僅可以豐富學生的數學活動經驗，使學生在操作中學會有序地思考幾種不同的擺法，以此發展學生的空間觀念，而且還能促使學生養成有序思考的習慣。良好的思維習慣是在平常點滴的學習活動中積累而成的，數學活動經驗的積累也是一個循序漸進的過程。教師應抓住每一次教學活動，哪怕是一道習題的教學，促進學生形成良好的思維品質。

二、教學片段

學生擺出了四種擺法。

擺法1 擺法2 擺法3 擺法4

1.分類中有序。

師：這4種擺法可以怎樣分類？

生1：1、3歸一類，因為它們前排是2個，后排是1個；2、4是一類，它們前排是1個，后排是2個。

師：這是根據前后兩排個數的不同分類的。

生2：也可以把1、2歸一類，因為它們左邊都是2個，右邊是1個；3、4是一類，左邊都是1個，右邊是2個。

2.比較中發現。

師：第2種擺法與第1種相比，左邊都是兩個正方體，但右邊的一個后移了，從正面看為什么還是一樣的呢？

生1：第2種擺法右邊的一個雖然移到后面一排了，但從正面看到的還是它前面這一個面。

生2：雖然移到后面去了，但是前面沒有遮擋，所以還是看到這個面。

生3：1和3相比，前排都是2個，后排雖然移動了，但從正面看沒變，因為后面的被擋住了，看不到。

生4：2和4相比，后排的不變，前排移動，但正面看到的還是一樣。

3.在比較中創造。

教學至此，準備引導學生有序地說一說這4種擺法。此時，生5（很激動地說）：我想到了一種新的擺法！還可以將右邊一個再往后移一排，擺成這樣：

擺法5

應該說，這不能算一種，因為后一個正方體和其他正方體沒有公共面。但從正面看確實沒有變，應該肯定學生的這種想法。

師：真會思考！因為右邊的小正方體前后移動時，從前面看到的都一樣。

生5：還可以移到前面來！

擺法6

師：看來，物體前后移動，我們從正面看到的都一樣。

很快，學生又想到了下面兩種“擺法”。

擺法7 擺法8

師：這些擺法可以怎么分類呢？

生：可以分兩類，擺法1、2、5、6，左邊都是2個正方體，右邊一個可以依次擺在不同位置，4種擺法一類；擺法3、4、7、8，右邊都是2個正方體，左邊一個可以依次擺在不同位置，4種擺法另一類。

此時，生4提出：我又想到了一種方法！

生4走上講臺邊擺邊說：我把右邊的放到中間，又可以得到一種。

師（不置可否）：這能不能算一種不同的方法呢？

生1：不能。如果算的話再移一點兒，又有一種，可以有無數種了。

生2：這樣擺的話右邊一個在中間，就看不出是擺了幾排。

（生4心悅誠服地回到了位置上。）

一波剛平，一波又起。

此時，生5又叫了起來：我想到了！

生5跑到講臺，如同變魔術一樣，將3個正方體擺成如下圖形狀。

擺法9

（大家表示同意。）

師：你是怎么想到的？

生5：剛才生4擺的時候，我就想到了要把左邊兩個分開來，這樣就成了3排，而后面一個向后移動，正面看不到。

生6：那還可以這樣擺。

擺法9

4.比較中辨別。

師：我們再來比一比，一開始的4種擺法與我們后來創造的6種擺法，它們之間有區別嗎？

生：前面4種擺法每兩個正方體都有一個面相重合的，而后面6種擺法，有的正方體之間只是棱相重合。

師：是的。雖然這6種擺法從正面看，看到的都一樣，但也不能算是正確的。因為要像前4種擺法一樣，兩個正方體之間要——

生（齊）：有公共面。

三、教學反思

教學中，教師注重過程，以比較的策略引導學生有序思考，在比較、分類活動中厘清事物的本質屬性，深化了認識。

1.在比較中發展學生有序思考的能力。

有序思考是良好思維品質的表現。組織有效的分類、比較活動，能使學生的思維從無序走向有序。從數學思維方法的角度來看，比較和分類往往是聯系在一起的，也即只有當研究的對象能夠被分成若干類別時，才有進一步加以比較的必要。學生一開始找到了4種擺法，但只注重了不同的方法，沒有自主地按序思考。三個正方體要從正面看是，只能排一層，按左右兩排個數不同分為左二右一和左一右二兩類，或者按前后兩排個數的不同分類。在分類過程中引導學生觀察比較4種擺法之間的聯系，視角從求異引向求同，思維從混沌走向清晰。但學生對于如何才能做到有序，還缺少思維的推手，再次引導學生進行深入比較，是同中求異，學生的思維從無序走向有序。在引導學生對左二右一兩種擺法的比較過程中，學生感受到了有序思考，思維走向深刻。在“變”與“不變”的比較中，逐步清晰順序，認識問題的本質。正是在這樣的活動經歷中，學生才能積累相關經驗。可喜的是，學生在體驗序的過程中，發現了新的“擺法”，這是在對序的深刻理解的基礎上發現的。

2.在有序思考中發展學生的空間想象力。

觀察物體的教學要以發展學生的空間觀念和空間想象力為出發點和歸宿。通過引導學生有序地觀察、有序地思考，從而讓學生感悟到，從正面觀察，有時前、后、左、右移動是不改變觀察結果的。只有這樣學生才根據已有的四種方法，發現新的“擺法”，雖然不正確，但這是學生思考創造的結果。在這個過程中，學生的空間觀念得到發展。由左二右一發現新的擺法，推想左一右二的新擺法，在看不到的情形下推想正方體的位置關系，這是學生在邏輯上對物體的空間關系進行想象與分析，有效培養了學生的空間想象力和空間觀念。

3.在比較中發展學生的創造能力。

正是有了對左二右一擺法的比較，學生認識到前后移動右邊的一個正方體，從前面看到的不變。受此啟發，學生理解了可將右邊的正方體再向后移，思考到了擺法5。由于教師沒有簡單否定，于是相繼有了擺法6、7、8，這些創造正是基于比較的結果。通過移動正方體，創造性地拓展了空間。于是學生想到：因為擺在中間不能看出擺了幾排，所以，把左邊兩個正方體分開，而不影響正面觀察的結果，這樣就成了3排。空間的拓展使得學生的空間觀念、空間想象力得以發展。這是學生創造力的展現。必須要指出的是，教學中要重視讓學生在獨立思考的基礎上相互啟發，師生之間以一種科學的態度共同探索，甚至是處于膠著的對話狀態，不斷切蹉，共同尋找真理。營造相互討論、相互尊重的氛圍，注重過程，延長學生獲得結論的時間，多一些討價還價的交流，對于發展學生的創造能力大有裨益。

4.在比較中把握事物的本質。

面對學生的這些創造，如何讓他們認識到這些擺法自身的缺陷？比較是確定對象之間異同的一種邏輯方法，可以把兩種或兩種以上互相聯系而又有差異的知識，分別進行分析、區別、歸納，辨析異同，把握事物的本質屬性。純粹地定義什么是正確擺法，學生理解起來普遍存在一定困難。而恰到好處地運用比較，有助于學生準確地區分，從而更深刻認識正確擺放的具體要求。

比較思維是數學學習中的重要思維方式。分類、比較是提高課堂教學效率的有效策略。在教學中合理組織比較，它能深化學生對數學概念的理解，提高解題的靈活性和創造性，增強思維的批判性。

◇責任編輯：張 瑩◇