基于已有經驗組織活動，促進空間觀念有效發展

趙斌

案例背景：

圖形與幾何是小學數學四大領域內容之一，其教學目標之一就是促進學生空間觀念的發展。如何結合學生的心理特征，立足并用好學生經驗，處理好直觀和抽象的關系，有效發展學生空間觀念？這一問題一直是數學教師關注的熱點。帶著這些思考，筆者嘗試著執教四年級下冊《等腰三角形和等邊三角形》一課。

片段一

師：前面我們已經研究了三角形，請大家回顧一下，三角形按角分類，可以分成幾類？

生：三角形按角可以分成直角三角形、鈍角三角形和銳角三角形。

師：是的。下面請大家觀察這三個三角形，它們各屬于哪一類？

出示三個三角形：

生（齊答）：第一個是銳角三角形，第二個是直角三角形，第三個是鈍角三角形。

師：判斷得又準又快！請大家仔細觀察，這三個三角形里還有一些沒有學過的相同點，看看誰能快速、準確地找出來！

生：它們有兩條邊是相等的。

師：找得真快！是這樣嗎？請大家動動手，用尺子量一量。

學生用尺子量好后認為三個三角形都是有兩條邊相等的。

師：像這樣的三角形，我們把它叫作等腰三角形。

思考：本課時是三角形單元的第五課時，學生在前面的學習中經歷了將現實物體抽象為幾何圖形，進行了大量抽象圖形的研究。課堂直接從對抽象圖形的引入，呈現直觀素材，引導學生觀察，激起學生對已有抽象圖形知識的經驗，并有針對性地引導學生觀察“沒有學過的共同點”，聚焦觀察點，讓學生通過觀察進行探究，通過操作進行驗證，在經歷觀察和操作活動的過程中發展空間觀念。

片段二

師：這三個三角形都是等腰三角形嗎？

生（齊答）：是等腰三角形！

師：它們形狀不同，為什么都是等腰三角形呢？

生：因為它們都是有兩條邊的長度相等，所以都是等腰三角形。

師：看來你們對等腰三角形理解得挺深的！

教師再出示三個三角形：

師：這三個三角形是等腰三角形嗎？

生（齊答）：是等腰三角形。

師：你是怎么想的呢？

生：因為它們也都有兩條邊的長度是相等的。

師：一下子就抓住了等腰三角形的本質，真棒！

思考：教師運用變式原理，分層引導學生開展觀察活動。通過兩個問題情境的創設——形狀不同為什么都是等腰三角形、位置變化為什么還是等腰三角形，引導學生在觀察、對比和思考中抓住等腰三角形的本質屬性，在深化對概念理解的同時，發展學生的空間觀念和抽象思維能力。

片段三

師：三角形不用量，你能判斷它是不是等腰三角形嗎？

生：可以用折的方法。

師：你能具體說說你的想法嗎？

生：只要將三角形對折，看看兩條邊是不是重合的，如果有兩條邊對折之后能夠重合，就說明著兩條邊長度相等，就是等腰三角形。

教師結合學生回答將三角形紙對折演示。

師：這樣的方法可以嗎？

生：可以！

師：是的！這種方法不僅能夠判斷一個三角形是不是等腰三角形，還能自己制作一個等腰三角形。請大家打開書本，看著書上的步驟，自己剪一個等腰三角形。請大家一邊剪，一邊想：這樣剪，為什么它就是一個等腰三角形？

學生操作，等學生操作完成后交流。

師：你們剪下的是等腰三角形嗎？

生：是！

師：為什么它是一個等腰三角形呢？

生1：因為它是對折后剪下的。

生2：因為剪的時候兩條邊疊在一起，用一刀剪下的，長度肯定相等，所以一定是等腰三角形。

師：兩位同學說的意思都對！兩邊重合，長度相等，當然一定是等腰三角形。

……

思考：在學生初步感知了等腰三角形的基礎上，教師組織學生開展操作活動——剪等腰三角形，并引導學生在行為操作的過程中開展思維操作活動——這樣剪為什么是等腰三角形？通過活動的開展，讓學生進一步認識等腰三角形，積累操作經驗和探究經驗，并在此過程中提升學生的空間觀念。

片段四

……

學生學習等邊三角形，并在教師的引導下，按照教材上的圖示，通過對折方法剪下一個等邊三角形，教師展示一生作品。

（注：虛線表示其中的折痕）

師：我們在三條邊上編上序號1、2、3，請大家思考一下，為什么不用量三條邊的長度，剪下的就一定是等邊三角形呢？

生沉思。

師：請大家觀察一下剪下的三角形，里面有——

生：有兩條折痕。

師：能否從這兩條折痕中想到什么呢？

生：1、2兩條邊是相等的，因為它們在剪的時候是重合的;1、3兩條邊也是相等的，因為對折時它們也重合，所以它們三條邊的長度相等。

師：大家聽懂他的意思了嗎？誰能再來說一遍？

生：我聽懂了，他是說從第一次對折的折痕可以看出1、2兩條邊相等，因為剪的時候1、2兩條邊重合;第二次對折的折痕說明1、3兩條邊相等，因為剪的時候1、3是重合的。1、2相等，1、3也相等，所以2、3也相等，所以三條邊都相等。

師：解釋得真詳細啊！除了通過折痕能看出三條邊相等，還有什么發現呢？

生：還有三個角也是相等的，因為在對折的時候角也重合了。

師：大家能聽懂他的意思嗎？

生（齊答）：能！

師：那么這三個角各是多少度呢？

生：這三個角都是60度，因為只要將180度除以3。

師：是的，等邊三角形的三個內角都相等，只要將內角和180度除以3，每個內角都是60度。endprint

教師板書。

思考：教師繼續組織學生進行動手操作——剪出等邊三角形，并在操作后進一步引導學生進行推理，結合操作中形成的折痕證明這個三角形三條邊的長度都相等，引導學生在行為操作的基礎上進行表象操作，促進學生空間觀念和推理能力的發展。

片段五

師：剛才我們一起認識了等腰三角形和等邊三角形，以及它們各自的特征。請大家閉上眼睛，在腦子中畫一個等腰三角形。

學生閉眼想象。

師：找到它的腰和底。

師：再找到它的底角、頂角。

師：再畫一個不同的等腰三角形。

師：再畫出幾個不同的等腰三角形。

師：再畫一個等邊三角形。

師：找到它相等的三個角。

師：再畫一個大點的等邊三角形。

師：再畫一個更大的等邊三角形。

師：好！睜開你們的眼睛。

……

思考：認識了等腰三角形和等邊三角形以及各自的相關概念、特征后，組織學生開展表象操作活動——閉上眼睛在腦子里畫一畫，并引導學生在“畫”的過程中不斷將圖形進行變換，促進學生對概念本質屬性的把握，同時促進學生對這兩種圖形表象的深刻建立，發展了學生的空間觀念，也為后續更復雜的表象操作、符號操作，以及幾何直觀的形成奠定了基礎。

“圖形與幾何”內容的教學是發展學生數學思維的重要載體，如何在小學數學課堂教學中發展學生的空間觀念，并促進學生數學素養的提升？筆者結合案例認為：經驗是基礎，活動是關鍵，主要有以下策略。

一、學生經驗的有效利用是空間觀念發展的首要前提

小學生的幾何知識來源于豐富的現實原型，除了在生活中，在學習中也積累了較為豐富的幾何知識經驗。這些是學生認識和理解幾何圖形、發展空間觀念的基礎，是教師教學的資源。因此，幾何圖形的起始學習經常從現實原型引入，激發學生已有的生活經驗，逐漸對原型進行抽象。如果在前階段已經歷了這樣的過程，并進行過抽象圖形的活動，已有抽象圖形操作的經驗，也可以激發學生已有的知識經驗，展開后續的學習、探究。

片段一中，教師以學生前段時間學習的知識經驗為基礎，通過問題予以激活，并展開新的探究活動，著眼于“都有兩條邊的長度是相等的”。已有經驗的激活為學生展開新的探究做好了準備，有針對性的引導又為學生認知體系的拓展奠定了基礎，而在此過程中，學生的空間觀念也得以發展。

二、行為操作活動的有效開展是空間觀念發展的必要環節

皮亞杰說過：兒童的思維是從動作開始的，切斷動作與思維的聯系，思維就不能得到發展。小學生空間觀念及空間思維的發展也是如此。

片段一、二、四中，教師呈現了大量的直觀素材，引導學生通過視覺活動認識幾何圖形。同時在片段三、四中，還分別組織了兩次動手剪紙的活動，引導學生通過觸覺活動認識幾何圖形。通過觀察，讓學生建立圖形表象，獲得對圖形性質的理解，把握圖形之間的聯系;通過動手操作，讓學生感知、發現，建構正確的空間形式和關系。這樣在多感官參與的活動中，形成相應的空間表象，獲得對幾何知識的理解，建立和發展空間觀念。

不管是視覺活動還是觸覺活動，教師都要在此基礎上引導學生思維的參與，讓學生有針對性地進行活動，有助于學生深入地探究幾何圖形的特征，形成表象，發展空間觀念。

三、表象操作活動的有效開展是空間觀念發展的重要橋梁

學生通過觀察、動手操作，初步獲得了幾何圖形的表象。在此基礎上，讓學生直接有效地將獲得的表象穩定地形成，為后續的符號操作提供表象基礎，表象操作在行為操作和符號操作間的橋梁作用不可忽視。

片段五中，教師引導學生通過想象，在頭腦中“畫”不同的等腰三角形和等邊三角形，有助于學生在表象操作中穩定、豐富表象雛形，形成正確的概念表征，為后續深入學習積累穩定而豐富的表象素材，發展學生的空間觀念。

四、推理活動的有效開展是空間觀念提升的主要渠道

推理是數學的基本思維方式。小學生幾何學習過程中的推理很大程度上是依賴直觀展開的，適時引導學生結合直觀開展推理活動，有助于學生空間思維、幾何直觀能力和推理能力的發展。

片段三、四中，教師在引導學生開展了兩次動手操作活動后沒有止步：片段三中剪等腰三角形后，教師提出問題：“你們剪下的是等腰三角形嗎？”引導學生結合操作過程進行證明;片段四中教師對學生推理能力的發展就顯得更為突出，展示學生帶有折痕的剪下的等邊三角形，引導學生通過觀察、思考，證明1、2兩條邊相等，2、3兩條邊相等，所以1、2、3三條邊都相等。在這樣的推理活動中，學生逐步認識了圖形的特征及性質，推理能力、幾何直觀能力和空間觀念都得以發展。？筻endprint