“原型—模型”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的原創(chuàng)過程

杜海良

教學(xué)內(nèi)容：

蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊第93—95頁。

教材分析：

本課“圓”是學(xué)生小學(xué)階段學(xué)習(xí)的最后一種平面圖形，也是學(xué)習(xí)的唯一一種平面曲線圖形。圓被人們認(rèn)為是一個(gè)美觀又充滿神秘的圖形，是一個(gè)看似簡單，實(shí)際上卻很奇妙的形狀。早在戰(zhàn)國時(shí)期，我國古代偉大的思想家墨子，就已經(jīng)為圓下了一個(gè)定義：“圓，一中同長也。”用今天的話說就是：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形叫作圓。這是圓與學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)過的其他平面圖形最本質(zhì)的區(qū)別特征。

《圓的認(rèn)識(shí)》一課，在很多公開課場合都能聽到，主要圍繞圓的特征和畫圓來展開。很多課上下來，學(xué)生也能順利認(rèn)識(shí)圓、掌握圓的特征，但對(duì)于圓“一中同長”這一本質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)可能還是有欠缺的，如“圓中心的一點(diǎn)叫圓心”“連接圓心到圓上任意一點(diǎn)的線段是半徑”“同一個(gè)圓里有無數(shù)條半徑”“這無數(shù)條半徑都相等”這些概念學(xué)生可能能正確記憶，但是不一定清楚這些特征的“來源”。正因?yàn)椤皥A是平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形”，所以這一“定點(diǎn)”其實(shí)就是圓心，“距離”就是半徑的長度，“所有點(diǎn)”就說明有無數(shù)條半徑，“定長”就說明這無數(shù)條半徑都相等。

所以本課的關(guān)鍵，是讓學(xué)生理解圓“一中同長”這一思想。有了這一思想，圓的特征，包括畫圓的原理、方法學(xué)生就能很輕松地獲得，并在此過程中體會(huì)到數(shù)學(xué)的神奇與奧秘，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更大的熱情。但是，“一中同長”這一思想，對(duì)于學(xué)生來說比較抽象，認(rèn)識(shí)起來比較困難，能不能從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)中找到原型呢？本課的教學(xué)設(shè)計(jì)，就是試圖從學(xué)生的生活中找到“一中同長”思想的原型并顯性化，幫助學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)、掌握圓的特征和畫圓的原理與方法。

教學(xué)目標(biāo)：

1.初步掌握圓的特征，會(huì)用圓規(guī)畫圓。體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活密切相關(guān)，能用圓的知識(shí)來解釋生活中的現(xiàn)象或用生活中的現(xiàn)象來解釋圓的特征。

2.通過觀察、猜測、操作、交流等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力和抽象、概括、歸納等思維能力。

教學(xué)重點(diǎn)：

理解和掌握圓的特征“一中同長”，學(xué)會(huì)用圓規(guī)畫圓。

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，初步認(rèn)識(shí)特征

1.創(chuàng)設(shè)情境

師：六一兒童節(jié)快到了，學(xué)校舉行投球比賽，同學(xué)們圍成這樣的隊(duì)形向球筐中投球，比誰投中的次數(shù)多，你認(rèn)為這個(gè)比賽公平嗎？

生：不公平，因?yàn)槊總€(gè)人離球筐的距離不相等。

師：那圍成正方形的隊(duì)伍呢？

生：不行。

師：那要圍成怎樣的隊(duì)伍，你認(rèn)為才公平？

生：圓形隊(duì)伍。

師：是這樣嗎？

生：不是。

2.認(rèn)識(shí)圓心

師：球筐應(yīng)該放在什么位置？

生：球筐應(yīng)該放在圓的中心。

師：那要怎樣才能找到這個(gè)圓形的中心呢？請大家拿出老師為大家準(zhǔn)備的圓片來模擬找出這個(gè)圓的中心。

生：匯報(bào)交流。

師：大家找出的這個(gè)中心就是圓的圓心，通常用字母“O”（板書）表示。請你在自己的圓片上點(diǎn)上圓心，標(biāo)上字母“O”。

3.認(rèn)識(shí)半徑

（1）討論。

師：球筐應(yīng)該放在圓心位置，為什么這樣比賽就公平了？

生：每位同學(xué)離球筐的距離都相等。

師：那也就是說圓上的每一點(diǎn)到圓心的距離都相等，我們也可以說成是：到一個(gè)中心距離都相等的所有的點(diǎn)組成了圓形，用我國古代思想家墨子的話說就是：“圓，一中同長也！”

（2）意義。

老師畫出一條連接圓心到圓上任意一點(diǎn)的線段，像這樣的線段就叫作圓的半徑。（板書：半徑）半徑用字母“r”表示。（板書：r）

誰再來說說什么叫半徑？

（3）特征。

請你也在剛才的圓片上畫出一條半徑，標(biāo)上字母“r”。這樣的半徑你還能再畫嗎？能再畫多少條？這無數(shù)條半徑長度都相等嗎？你能結(jié)合投球比賽的經(jīng)驗(yàn)加以說明嗎？

4.小結(jié)

通過剛才的學(xué)習(xí)，我們知道了在同一個(gè)圓內(nèi)半徑都相等這一道理，所以把球筐放在圓心位置時(shí)，比賽就公平了。

評(píng)析：以上教學(xué)是本課概念形成的關(guān)鍵步驟。圓心、半徑這兩個(gè)新概念都是在“投球比賽”這一實(shí)際問題情景中自然流暢地解決的。比賽時(shí)，球筐位置就是圓心，同學(xué)們到球筐的距離就是半徑的長度。為了保證比賽的公平，學(xué)生都清楚每個(gè)同學(xué)到球筐的距離要相等，也就是半徑都相等。通過“怎樣的投球比賽才公平”這一生活原型，從中抽取出“一中同長”這一圓的本質(zhì)特征，使學(xué)生對(duì)圓的認(rèn)識(shí)產(chǎn)生了由生活原型到數(shù)學(xué)模型的飛躍。這樣，本課的教學(xué)難點(diǎn)就比較自然、流暢地突破了。

二、對(duì)比辨析，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)特征

1.揭示直徑

師：（在黑板上的圓中直接畫出直徑）這條線段是半徑嗎？

生：不是。

師：對(duì)，這條線段不是半徑，這是直徑。（板書：直徑）直徑用字母“d”表示。

2.判斷直徑

請你憑著這條直徑給你的信息，判斷圖中哪一條線段是直徑，其他的為什么不是？

3.意義特征

（1）猜測。

根據(jù)上面的學(xué)習(xí)，你能猜一猜什么樣的線段叫直徑了嗎？直徑又有些什么特征？它與半徑又有什么關(guān)系？

（2）驗(yàn)證。

請大家利用手中的圓片量一量、折一折，驗(yàn)證你的猜想。

評(píng)析：直徑的概念可以說是半徑概念的簡單衍生，同一直線上的兩條半徑就組成一條直徑，所以在半徑概念的基礎(chǔ)上，直徑的教學(xué)可以簡單化，開門見山地告訴學(xué)生，這條線段不是半徑而是直徑，重點(diǎn)放在半徑與直徑的關(guān)系上。

4.練習(xí)鞏固

⑴判斷。endprint

①從圓心到圓上任意一點(diǎn)的距離都等于半徑的長度。

②直徑的兩個(gè)端點(diǎn)在圓上，那么兩個(gè)端點(diǎn)在圓上的線段就一定是直徑。

③所有的半徑都相等，所有的直徑都相等。

④半徑為3厘米的圓比直徑為5厘米的圓要小。

⑤在一個(gè)圓里，直徑最長。

（2）填表。

三、應(yīng)用特征，教學(xué)畫圓方法

1.圓規(guī)畫圓

師：根據(jù)“一中同長”的思想，科學(xué)家們設(shè)計(jì)了一種畫圓的工具——圓規(guī)，你知道圓規(guī)為什么可以畫圓嗎？

師：請你試著在這張紙上畫一個(gè)大小合適的圓，并說一說畫時(shí)要注意什么？

生：畫時(shí)不能改變針尖一腳的位置（定點(diǎn)——一中），不能改變兩腳之間的距離（定長——同長）。

2.其他工具

師：如果沒有圓規(guī)，你還有其他辦法畫圓嗎？

師：古代的人們在生活勞動(dòng)中也經(jīng)常需要畫圓，你知道他們是如何在地上畫一個(gè)半徑是5米的圓的嗎？

動(dòng)畫演示用“繩子畫圓”，并說一說這樣畫圓的原理。

評(píng)析：畫圓的原理仍是依據(jù)“一中同長”的思想，所以畫圓的教學(xué)仍然緊扣這一點(diǎn)。先探究為什么用圓規(guī)可以畫圓，畫圓時(shí)為什么要注意定點(diǎn)、定長，再思考還有什么其他方法也可以畫圓，如用繩子畫圓。這樣的教學(xué)既能與前面的特征教學(xué)一脈相承，始終圍繞“一中同長”的思想，并且也通過對(duì)畫圓原理、方法的探究，進(jìn)一步鞏固“一中同長”的思想。

四、聯(lián)系生活，實(shí)踐應(yīng)用特征

1.問題

生活中有許多圓形物體，有些物體做成圓形是為了美，而有些物體卻是非圓不可，比如說車輪。車輪能不能做成方形或橢圓形的，為什么呢？

2.討論

請同學(xué)們先相互討論一下，然后再相互議一議。

3.演示

觀看三種車輪的動(dòng)畫演示，結(jié)合“一中同長”的思想理解車輪為什么一定要做成圓形。

五、總結(jié)揭題

1.揭題

師：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？

生：認(rèn)識(shí)了圓。（板書：圓的認(rèn)識(shí)）

2.總結(jié)

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？

基于怎樣讓數(shù)學(xué)課堂再厚重些、開闊些、深邃些、美麗些的思考，有了“圓的認(rèn)識(shí)”這一課，從“原型”到“模型”的嘗試。基于原型的教學(xué)突出反映了數(shù)學(xué)本身產(chǎn)生與發(fā)展的動(dòng)力特征，強(qiáng)調(diào)從數(shù)學(xué)自身發(fā)生、發(fā)展的角度思考情境的創(chuàng)設(shè)——以原型為核心的情境創(chuàng)設(shè)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中創(chuàng)設(shè)以原型為核心的情境，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使情境的挑戰(zhàn)性、趣味性或應(yīng)用性成為學(xué)習(xí)的動(dòng)力;可以促進(jìn)數(shù)學(xué)理解，使情境本身的信息為數(shù)學(xué)問題的解決、模型的建立提供結(jié)構(gòu)性支撐。從“原型”到“模型”的學(xué)習(xí)，正是數(shù)學(xué)的原創(chuàng)過程在教學(xué)中的體現(xiàn)，這不僅有利于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)，逐步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，同時(shí)也是一種人類的文化。？筻endprint