例談“三象一作”教學模式的實施策略

顧麗英+++許光新

王名揚等教授在《論一種緣自認知心理學及教育研究的數學認知過程》一文中，提出了一種全新的教學模式——“三象一作”，即“數學現象、心智圖像、數學抽象、操作階段”。這是一種緣自認知心理學和教育研究，可以應用于小學數學教學的“數學認知過程”。它的提出對數學教育和教學具有理論指導意義且具可操作性。

在日常教學中，筆者試圖以這一理論為依據，在課堂上有意識地啟示、鼓勵學生，或促使學生搜集數學現象、觀察數學現象，再通過多種策略讓數學現象成為學生心中生動的心像，最后，再通過層層抽象，完成知識建構。本文筆者就從數學的現象、心像、抽象等層面談談蘇教版小學四年級“小數意義”的設計策略。

一、呈現數學現象，著力于小數形象的積累

數學是研究數學現象的科學，數學教學就是闡述并運用“數學現象規律”的科學。數學現象是數學形式化題材的生命之源，也是學生直觀心智圖像形成的客觀背景。生活中存在的大量的數學現象是可以人為地創設出來的。小數是描述性的概念，因此教師在教學小數意義的時候，首先就要從小數意義的知識本身以及學生已有的認知水平出發，呈現有效的數學現象，引入小數意義。綜觀各種版本的教材，筆者發現：蘇教版教材以元、角、分、米尺等數學現象引入小數概念;人教版教材僅以米尺這一數學現象引入小數;北師大版教材以元、角、分引入小數意義;青島版教材以生活實例和正方形、正方體等數學現象引入小數意義……各種版本的教材都試圖以一種有趣、直觀、形象的數學現象來生動引入小數意義。綜合各個版本的教材，我們在呈現小數意義的數學現象時，應緊扣趣味性、直觀性、連續性等特性，幫助學生積累小數形象。

1.生動有趣地引入數學現象

著名數學家華羅庚說過：“人們對數學早就產生了枯燥乏味、神秘、難懂的印象，原因之一便是脫離了實際。”因此，從學生熟悉的實際生活中創設教學情境，讓數學走進生活，讓學生在生活中看到數學現象，接觸數學，激發學生學習數學的興趣，就顯得尤為重要。如上課一開始我們向學生呈現的是奧運冠軍、中國男子田徑隊110米跨欄健將劉翔跨欄奪冠的場景，引導學生回顧歷史上在跑步比賽中記錄時間方法的發展史：用整數秒記錄→用一位小數記錄→用兩位小數記錄，為了比出勝負，記錄的時間越來越精確。透過這一現象，學生可以真切地感受到小數是在精確度要求不斷提高的情況下產生的。

2.數學形象的形成，需要豐富的數學現象作為資源

在學生初步感受到小數產生的必要性后，我們又設計了測量淘淘小朋友身高的數學情境，幫助學生搜索數學現象。首先呈現：測量小寶寶淘淘三個月大時的身高。從圖片中，學生能清楚看到，測量結果不能用整米數表示，此刻啟發學生利用已經學過的知識解決：縮小計量單位，把1米平均分成10份，每份是1分米，測得淘淘身高是6分米，也可以寫成十分之六米或0.6米。這是學生在三年級時學過的知識。在這兒不僅復習了舊知，而且也使學生看到了一位小數出現的必要性，為后面的兩位小數、三位小數的出現埋下伏筆（如圖1）。

圖1 淘淘三個月大時的身高

一位小數的出現已經比整數更加精確了，為什么還要出現兩位小數呢？這時我們又呈現了這樣的數學現象：淘淘六個月時，測量身高，圖片顯示用一位小數得不到精確的結果了，怎么辦？學生非常自然地想到了用兩位小數來表示，把1米平均分成100份，每份是1厘米，也就是一百分之一米，寫成小數是0.01米，淘淘的身高67厘米就是0.67米（如圖2）。

圖2 淘淘六個月大時的身高

隨著淘淘的長大，身高又發生了變化，于是，我們又呈現了第四個數學現象：七個月大時，淘淘的身高用兩位小數無法精確地表示了，如此順理成章地引出了三位小數（如圖3）。

圖3 淘淘七個月大時的身高

在這樣層層遞進的連續的數學現象中，我們可以看到一位小數、兩位小數、三位小數的引出是那么的迫切與自然，因為在這一系列的數學現象中，不僅突出了小數產生的必要性，更重要的是蘊含了小數的內涵，在整個過程中學生積累了大量的小數現象，這為學生心智圖像的形成奠定了基礎。

二、激活心智圖像，著力于小數內涵的豐富

“心智圖像是數學現象在人們心目中呈現的一類未經理性分析的直覺形象，是人們對數學現象的某種直接的領悟和圖像。”因為數學現象是對數學內涵的呈現，而心智圖像是對數學現象的反映，所以我們稱心智圖像是對數學內涵的二次呈現。心智圖像具有一定的概括性，由此也就有不同的遷移能力。數學學習中并非概括水平越高的心智圖像越有利于數學理解。而是在不同的階段，需要相應水平的心智圖像。引導建構的心智圖像必須能夠反映數學本質，因為，不管形成怎樣的心智圖像，我們的目的都是為了幫助學生理解數學。小數是一個比較抽象的數學概念，為了幫助學生激活有效的心智圖像，形成科學規范的小數意義的知識結構，我們在教學小數意義這一知識點時，預設形成以下直觀、適切的心智圖像。

第一，米尺是學生心中熟悉且形象的教具。學生曾經通過米尺認識了1米、1分米、1厘米、1毫米，并借助米尺了解了米、分米、厘米、毫米之間的關系。所以在教學小數意義時，通過把1米平均分成10份、100份、1000份，得到1米的十分之幾、百分之幾、千分之幾，并用小數表示是1位小數、兩位小數、三位小數等。此刻，學生心中會形成這樣的心智圖像：把1米平均分成10份，每一份是1分米，是1米的，用小數表示是0.1米;把1米平均分成100份，每一份是1厘米，是1米的，用小數表示是0.01米;把1米平均分成1000份，每一份是1毫米，是1米的，用小數表示是0.001米。這樣米尺就在“米、米，米”和“0.1米、0.01米、0.001米”之間架起了知識橋梁，學生心中形成了從整數到分數到小數的相互貫通的心智圖像。

第二，我們可以用整數“1”來表示一個正方體。在這兒我們期望形成這樣的心智圖像：把正方體平均分成10份后，每一份是正方體的，可以用0.1來表示;把它平均分成100份，每一份是正方體的，可以用0.01表示;把它平均分成1000份，每一份是正方體的，可以用0.001表示。這兒把正方體從一維、二維到三維的直觀均分，可以讓學生心中順利從“十分之幾、百分之幾、千分之幾”過渡到“零點幾、零點零幾、零點零零幾”，這一心智圖像的形成，有助于學生溝通分數與小數之間的聯系（如圖4）。endprint

十分之幾 百分之幾 千分之幾

零點幾 零點零幾 零點零零幾

圖4 剖分單位正方體理解小數意義

第三，數軸在小學教材中多次出現，是學生認數的重要工具。認識小數一課中，我們借助數軸，讓學生心中形成這樣的心智圖像：把數軸上0到1這段平均分成100份，從0開始第二個點可以用表示，也可以用0.01表示;第三個點可以用表示，也可以用0.02表示……使學生明白數軸上的每一個點都可以用不同形式的數來表示，這樣就由數軸這一中介溝通了整數、分數、小數之間的聯系。

三、實現深度抽象，著力于小數本質的認識

人腦是具有抽象本能的。通過心像的積累、變化、組合及相互聯結和綜合等過程逐步形成抽象性的概念——小數的意義。因此，當學生形成了以上的數學心像后，需要教師引導他們通過對比、歸納、推理等完成小數意義的抽象。

第一，橫向比較、縱向感受小數的意義。當學生借助米尺在心中形成縱向的整數、分數與小數之間的聯系后（如表1），教師及時地引導學生進行橫向的求同比較，使學生明確，第一行都是表示多少厘米，第二行都是分母是100的分數，第三行都是兩位小數，在此基礎上引導學生進一步概括，多少厘米都可以借助分母是100的分數表示出來，還可以借助兩位小數表示出來。在教學三位小數時同樣可以采用類似的方法，讓學生明確，多少毫米都可以借助分母是1000的分數表示出來，也可以借助三位小數表示出來。這就是從整數到分數到小數的一個縱向的小數意義的理解。

表1 縱向理解整數、分數、小數的意義表

1厘米 12厘米 67厘米 →多少厘米

米 米 米 →百分之幾米

0.01米 0.12米 0.67米 →零點幾幾米（兩位小數）

第二，分類歸納，逆向理解小數的意義。在這節課中如果僅僅讓學生理解分母是10，100，1000……的分數都可以寫成一位、兩位、三位小數……是遠遠不夠的。所以當學生認識了0.1，0.4，0.7，0.01，0.04，0.12，0.67，0.001，0.028，0.677等小數后，我們可以設計這樣的一個環節：請學生選擇下面的一個正方體來表示這些小數（如圖5）。

1號 2號 3號

圖5 逆向理解小數的意義

通過分類選擇，我們可以得到0.1，0.4，0.7可在1號正方體中表示，0.01，0.04，0.12，0.67可在2號中正方體表示，剩下的在3號正方體中表示。這樣數形結合著對應分類，學生非常自然地得出了小數意義的逆向理解：一位小數表示十分之幾，兩位小數表示百分之幾，三位小數表示千分之幾……此刻，我們可以說，學生對小數的意義已經可以比較完整地構建。

第三，推理猜想，感悟小數的特征。數軸是數的認識的重要工具。它的出現，不僅可以讓學生對小數意義的認識更加深刻，而且可以使學生逐步感悟小數的特征。這里我們可以設計三個遞進的推理猜想，讓學生感受小數個數的無窮性。

其一，在數軸上，引導學生在0與1之間找到0.1，0.01，0.001的位置，通過直觀位置的對比，讓學生清晰地看到，這幾個小數中最接近0的小數是0.001，并且在0與0.001之間，我們還可以找出比0.001更小的小數0.0001，在0和0.0001之間，還可以推想出0.00001，以此類推，學生很容易就可以推想出在0與1之間，我們可以找到無數個小數;同樣，1和2之間、2和3之間也有無窮個小數。這樣，通過觀察與推想，學生可以知道在每兩個整數之間都存在著無窮個小數。第一次感受小數個數的無窮性。

其二，將數軸的箭頭向右繼續延伸，從0到1到2到3，進而自然地引出π的近似值：3.1，3.14， 3.141，3.1415，3.14159，3.1415926……而3.141，3.1415，3.14159，3.1415926……這些數都在3.14和3.15之間，由剛才的推想，學生可以非常順利地推想出3.1415926后面還可以有無限位小數，也就是說，在3.14和3.15之間，我們也可以推算出無限個小數，這時，學生就可以推想出每兩個小數之間也有無窮個小數。

其三，數軸不斷向右延伸，學生在數軸上依次找到15.8，25.7，100.9，358.9，8844.47……在數軸向右無限延伸的動態過程中，學生不僅看到了小數變得非常非常大，從而明白小數其實并不小，再加上學生合理的推想，又可以感受到小數可以是無窮大的特征。

通過這樣三個層次的抽象概括，學生對小數的意義及特征逐漸明晰。

綜上所述，運用“三象一作”的理論進行小數意義的教學，教師從呈現緊密相連的數學現象入手，使學生的心中形成科學規范的心智圖像，通過多維度的比較、抽象、概括，使小數的概念清晰、豐厚，從而在學生心中架構一個完全“立體化”的小數意義。

（江蘇省無錫市新區實驗小學 214112）endprint