個數乘個數，結果怎么會等于種數？

莊治新+++嚴育洪

【“望”：病例觀察】

“事物搭配的規律”是蘇教版教材四年級下冊的內容。教材例1的情境圖是木偶搭配帽子——

師：小明就要過生日了，媽媽要送他一件禮物，小明來到玩具柜臺旁，（出示掛圖）小明要買一個木偶，再配一個帽子。像這樣一個木偶配一個帽子，我們就叫搭配。柜臺上有三種不同顏色的木偶和兩種不同顏色的帽子，小明在思考買什么顏色的木偶配什么顏色的帽子好看，請同學們給他提些建議好嗎？

師：剛才幾個同學的主意都不錯，那同學們能不能有序而又不重復地把所有的搭配方法都找出來，讓小明自己去選擇呢？請同學們拿出老師事先發給你們的木偶和帽子的圖片，動手搭配一下。

反饋匯報時有兩種搭配思路：A.先選帽子再配木偶;B.先選木偶再配帽子。

……

師：把木偶增加到4個，一共有多少種不同的搭配方法呢？8個、50個呢？

師：如果帽子增加到3個，又有多少種搭配方法呢？5個、100個呢？

教師根據學生的回答完成表格：

木偶個數 帽子個數 搭配種數

3 2 6

4 2 8

8 2 16

50 2 100

3 5 15

3 100 300

師：觀察表格中數據，木偶的個數和帽子的個數與有多少種搭配方法之間有什么關系呢？

生：木偶個數×帽子個數=搭配種數。

師：這就是搭配的規律。

……

在練習環節，教師出示題目“如果木偶和帽子一共有12種搭配方法，那么你知道可能有多少個木偶和帽子嗎？”一位學生答道：“6+6=12，……”教師未等她說完，便指著板書提醒這位學生：“木偶個數×帽子個數=搭配種數，應該從乘法上想。”誰知這位學生甚是困惑地問道：“個數乘個數，結果怎么會等于種數啊？”

【“問”：病歷記錄】

我們暫且不論學生“個數乘個數，結果怎么會等于種數？”這一困惑，它涉及的是教師的教法問題。筆者更多地是對這位學生“6+6=12”的回答產生好奇，隱約感覺到它的背后可能有著沒有說出來的“故事”，很想知道她的答案到底是怎么來的，真的是教師所認為的對該問題尚未理解嗎？

課后一問才知道，這位學生的“6+6=12”如果說完整應該是“6種+6種=12種”，于是，筆者接著追問：“如果是這樣，那有多少個木偶和帽子呢？”她說出了課上沒來得及說出的最終答案：“可以是2個木偶、6個帽子，也可以是6個木偶、2個帽子”。原來她是會做題的，只是不理解“個數乘個數，結果怎么會等于種數？”這一知識在形式上的矛盾，這一問題其實也就是知識的本質問題，她隱約感覺到了，只是教師沒感覺到而已。

【“切”：病理診治】

我們常說“有理走遍天下”，知識學習同樣如此。學生懂“道理”，知識才會學得深刻，學得牢固，而要讓學生成為得道之人，教師就必須懂得講“道理”。上述課例中，學生的質疑“個數乘個數，結果怎么會等于種數啊？”道出了學生對知識理解的不深刻，分析教學過程，我們可以發現，學生的一知半解是因為教師教學的淺嘗輒止，沒有挖到知識的本質。

從教學結果上看，學生似乎根據相關條件的數據特點順利地找到了搭配的規律——“木偶個數×帽子個數=搭配種數”，教師也似乎圓滿地完成了教學任務。然而，整個教學過程，規律的得出，學生更多的是從數據的特點上找出來的，或者說是把數據“搭配”出來的，從中發現搭配的種數恰好等于木偶個數與帽子個數的乘積，并在眾多例子中得到了證實。

在此值得一提的是，課中這些例子都處于同一情境中，缺乏普遍性。規律的發現與概括需要“大數據”，一是指觀察素材數量足夠多，二是指觀察素材范圍足夠廣，能夠體現事物的多樣性，所以，理想的教學是，增加其他情景，例如配衣、配餐、配人等。如教材中的“想想做做”（如下圖）中線路搭配問題所呈現的就是一種很好的素材，我們可以從多方面、多角度地歸納出“一種事物個數×另一種事物個數=搭配種數”這一更抽象的規律，這樣規律的得出更完整，也更可信。

不過，這些素材雖然更多地會從生活情景引入，一旦成為數學研究材料，就應該區別于生活，避免受到非數學本質因素的干擾。例如上述課例中，教師說了這么一句話——“小明在思考買什么顏色的木偶配什么顏色的帽子好看，請同學們給他提些建議好嗎？”其中“好看”問題就很容易讓學生陷于生活的泥潭中，對此糾纏不清。此處，教師應把問題直接指向“有多少種搭配方法”這一數學問題比較妥當。

固然，本課的教學是要讓學生發現數據背后隱藏的規律，從而找到一種容易操作的數學公式，便于學生運用規律去解決問題。但在得出這一算法之前，我們是否要讓學生知道其中真正的算理呢？答案是肯定的，因為算法要建立在算理之上。以2個木偶與3個帽子搭配為例，如果從木偶出發，1個木偶與帽子就有3種搭配方法，那么2個木偶就有“3種+3種=6種”搭配方法，如果從帽子出發，1個帽子與木偶就有2種搭配方法，那么3個帽子就有“2種+2種+2種=6種”搭配方法，它們都可以統一用“3×2=6（種）”這一乘法算式表示。換一句話說，搭配規律的得出需要建立在“搭”與“配”的基礎動作上（配合搭配動作，我們的語言可以采用“誰‘搭誰‘配成一種”這樣的表述方式），也就是不僅要讓學生從數據上找規律，還要讓學生從活動中找規律。

教師在教學過程中如果能夠從知識的本質出發，講清上述規律中蘊含的道理，這樣的教學才是建立在知識意義上的教學。在教學過程中，教師應該把算理清楚地反映出來，不能輕描淡寫，我們可以把表示思路的算式補在搭配種數之前（如下表），這樣就把算理固定下來，然后指導學生去尋找數據中的規律，從而發現一種簡捷的解決問題的數學模型。此時，學生對“木偶個數×帽子個數=搭配種數”的理解就不會產生異議。由此可見，本課“找規律”的教學，不僅要指導學生找到知識形式上的規律，還要指導學生找到知識本質上的規律，不僅讓學生找到了知識的精髓，而且事先找到了知識的精神。endprint

木偶個數 帽子個數 搭配種數

3 2 3+3

2+2+2 3×2 6

4 2 4+4

2+2+2+2 4×2 8

…… …… …… …… ……

上述課例中，那位學生“6+6=12”的回答，雖然沒有一下子點到答案，但恰恰點到了知識的精神所在，也就是算理，教師不應該被表象所迷惑，誤認為錯。此時，教師應該耐心聽學生把話說完，這樣才能知道事情的真相，之后再去引導學生根據所表達的意思，把“6+6=12”轉化成“2×6=12”。

上述課中，之所以學生會有此一問——“個數乘個數，結果怎么會等于種數？”還得感謝這一教材的特殊性——算法與算理不“搭配”，搭配規律的算法可以“跳過”算理，直接看事物個數就可以算出結果，正是最終在形式上算法與算理的“脫離”狀態讓學生在不知情的情況下觸景生情，產生困惑并反映了出來，促使教師反思教學中存在的問題。

在教學中，教師把操作的目的大多定位在為了找出結果——“一共有多少種搭配方法？”至于指導學生有序搭配，也只是為了讓學生能夠更正確、更快速地得到搭配的結果，也就是說操作方法的有序性只是為了操作行為的有效性而為之。

雖然操作的有序性也是教師需要教會學生的一種思考方法，但在“講道理”的知識教學中，操作的如此定位還沒有實現價值的最大化。我們應該看到，有序搭配還可以讓學生更容易得出反映算理“2個3種”或“3個2種”的算式“3×2”，如果教師能夠看到這一操作活動所蘊藏的深意，那么學生對規律意義的深刻理解就容易水到渠成。換一句話說，教師不應該只追求“配”的結果，也應該注重“搭”的過程，從而使算法與算理能夠無縫“搭配”。此時的操作就不再是為操作而操作，而是為意義而操作。

總之，學生的學習要深刻，教師的教學就要深入。教學之道不僅僅只是讓學生知道走向知識的道路，還要讓學生知道知識中蘊藏著的道理。學生得道了，對知識的掌握也就能夠得心應手。

另外，教學之道還要讓學生知道知識學習的道路，還要掌握對知識的學法。本課屬于找規律的教學，那么學生就應該知道找規律的一般方法，其中以少見多、以小見大是研究問題的常規思路。由此，教師一開始就可以拋出“大數據”——成百上千個木偶搭配成百上千個帽子這樣的“大問題”，讓學生無從下手，自覺想到從簡單問題開始研究，看一看有沒有規律可循，如果有規律，是怎樣的規律，從而解決問題。如果基于這樣真實的科學研究設計本課，那么就能夠更好地實現學生的自主學習，教學起點和教學行程都可以讓學生自己確定，例如學生會從最簡單的一一搭配、一二搭配、一三搭配等問題開始，發現沒有研究的價值，接著就會主動增加到二二搭配、二三搭配、二四搭配以及三三搭配、三四搭配、三五搭配等，從縱橫兩個方向對研究素材進行不斷拓展，當研究素材足夠多，達到學生“滿足”為止，學生就會自動轉入知識的抽象概括程序，從而總結出規律。

（江蘇省無錫市坊前實驗小學 214111

江蘇省無錫市錫山教師進修學校 214101）endprint