談?wù)劷夂薪^對值號的問題

李玲

【摘要】絕對值的知識是初中數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，幫助學(xué)生掌握好絕對值的知識，對學(xué)生今后學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)問題有著非常重要的作用，本文將對如何解含有絕對值號的問題做些探討。

【關(guān)鍵詞】絕對值 符號 性質(zhì) 零點(diǎn) 分段 確定 化簡 定義

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）11 -0220-02

絕對值的知識是初中數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，去絕對值號在解方程、化簡、計算等問題中經(jīng)常會遇到，其依據(jù)是

│a│=

不少同學(xué)只是形式上記住了定義，不會運(yùn)用。絕

對值概念中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，本文

將對如何解含有絕對值號的問題做些探討，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考。

例1 解方程：已知（a-1）2+|b+3|=0，求a、b。

分析：根據(jù)平方數(shù)與絕對值的性質(zhì)，題中（a-1）2與|b+3|都是非負(fù)數(shù)。因?yàn)閮蓚€非負(fù)數(shù)的和為“0”，當(dāng)且僅當(dāng)每個非負(fù)數(shù)的值都等于0時才能成立，所以由已知條件必有a-1=0與b+3=0，即可求出a、b。注意：對于任意一個有理數(shù)x，x2≥0和|x|≥0這兩條性質(zhì)是非常重要的，在解題過程中經(jīng)常用到。

解：∵（a-1）2≥0 ， |b+3|≥0

又（a-1）2+|b+3|=0

∴a-1=0且b+3=0

∴a=1 ， b=-3

例2 解方程：已知 x-2=4，求x。

分析：本題應(yīng)用了絕對值的一個基本性質(zhì)：互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等。即x-2=4或x-2=-4，由此可求出正確答案x=6或x=-2。

解： ∵x-2=4

∴x-2=4或x-2=-4

∴x=6或x=-2

例3 解方程：已知|x+1|+4=2x，求x。

分析：解簡單的含有絕對值符號的方程，一般都根據(jù)絕對值的定義，先化去絕對值符號，然后求解。本題需把原方程轉(zhuǎn)化為|x+1|=2x-4的形式后，才便于應(yīng)用絕對值的定義。

解： ∵|x+1|+4=2x

∴|x+1|=2x-4

∵|x+1|≥0

∴2x-4≥0，x≥2

∵x≥2

∴x+1>0，|x+1|=x+1

原方程變形為x+1+4=2x

∴x=5

例4 計算：

|3x+3| + （-0.5

分析：當(dāng)絕對值號內(nèi)代數(shù)式的值的符號能唯一確定時，要先確定符號，再依據(jù)絕對值定義式去掉絕對值號。本題中

原式=|3x+3| +

=3x+3+0.5x-3

解：∵-0.51.5>0， 0.5x-3<-0.5<0

原式=3x+3+0.5x-3=（3x+3）-（0.5x-3）

=2.5x+6

例5 已知A

分析：本題必須先判斷絕對值符號里代數(shù)式的符號，再根據(jù)絕對值的定義進(jìn)行化簡。

解：∵A

∴A-B<0，B-C<0，C-A>0

∴A-B+B-C+C-A

=-（A-B）+-（B-C）+C-A

=B-A+C-B+C-A

=2C-2A

例6 已知A=-A，=-1，C=C，化簡A+B+A-C+B-C。

分析：本題先由已知條件求出A、B、C的取值范圍，后判斷絕對值符號里的代數(shù)式的符號，再根據(jù)絕對值的定義進(jìn)行化簡。

解：∵A=-A，=-1，C=C

∴A≤0，B<0，C≥0

∴A+B<0，A-C<0，B-C<0

∴A+B+A-C+B-C

=-（A+B）+-（A-C）+-（B-C）

=-A-B+C-A+C-B

=2C-2A-2B

例7 化簡2x-2-x+4。

分析：要化簡此式，關(guān)鍵是依據(jù)絕對值定義判斷好絕對值符號內(nèi)x-2和x+4在x取不同數(shù)值時它們的符號情況，才能正確地轉(zhuǎn)化為不含絕對值的式子。為此，首先應(yīng)判定|x-2|=0和|x+4|=0時x的取值，即x=2和x=-4，由此可知，x的取值可分為三種情況：即x<-4，-4≤x<2，x≥2。這時|x-2|和|x+4|就可依絕對值定義分別得到不同的去掉絕對值符號后的新形式了。

解 ：令x-2=0得零點(diǎn)：x=2，令x+4=0得零點(diǎn)：x=-4，把數(shù)軸上的數(shù)分為三個部分（如圖）

當(dāng)x≥2時， x-2≥0，x+4>0

∴原式=2（x-2）-（x-4）=x-8

當(dāng)-4≤x<2時，x-2<0，x+4≥0

∴原式=-2（x-2）-（x+4）=-3x

當(dāng)x<-4時，x-2<0，x+4<0

∴原式=-2（x-2）+（x+4）=-x+8

∴ 2|x-2|-|x+4|=

例8 求|x-1|+|x-3|的最小值。

分析：先化簡此式，關(guān)鍵是依據(jù)絕對值定義判斷好絕對值符號內(nèi)x-1和x-3在x取不同數(shù)值時它們的符號情況，正確地轉(zhuǎn)化為不含絕對值的式子，再從中找出最小值。

解：當(dāng)x<1時，原式=1-x+3-x=4-2x>2

當(dāng)1≤x≤3時，原式=x-1+3-x=2

當(dāng)x>3時，原式=x-1+x-3=2x-4>2

所以|x-1|+|x-3|的最小值為2。

例9 化簡|x+2|+|x-3|+|x+5|

分析：當(dāng)絕對值號內(nèi)代數(shù)式的符號不能唯一確定時，要對字母的取值范圍恰當(dāng)?shù)胤侄危缓蠓謩e在每一段上確定符號。本題中要去掉三個絕對值符號，就要同時確定三個絕對值符號里的代數(shù)式的正負(fù)性，可采用零點(diǎn)分段法將數(shù)軸分成四段再化簡。

由x+2=0，x-3=0，x+5=0，分別求得零點(diǎn)值x=-2，x=3，x=-5

當(dāng)x≤-5時，x+2≤-3<0，x-3≤-8<0，x+5≤0

當(dāng)-50

當(dāng)-20，x-3≤0，x+5>3>0

當(dāng)x>3時，x+2>5，x-3>0，x+5>8>0

解： 當(dāng)x≤-5時，原式=-（x+2）+-（x-3）+-（x+5）=-4-3x

當(dāng)-5

當(dāng)-2

當(dāng)x>3時，原式=x+2+（x-3）+（x+5）=4+3x

例10 解方程： |x-1|-2|x-2|+3|x-3|=4

分析：當(dāng)絕對值號內(nèi)代數(shù)式的符號不能唯一確定時，要對字母的取值范圍恰當(dāng)?shù)胤侄危缓蠓謩e在每一段上確定符號。本題中要去掉三個絕對值符號，就要同時確定三個絕對值符號里的代數(shù)式的正負(fù)性，分別求得零點(diǎn)值x=1，x=2，x=3，可采用零點(diǎn)分段法將數(shù)軸分成四段再求解。

解： （1） x≤1時 1-x-2（2-x）+3（3-x）=4

1-x-4+2x+9-3x=4

-2x=-2

x=1成立

（2） 1

x-1-4+2x+9-3x=4

4=4 成立

（3） 2

x-1-2x+4+9-3x=4

-4x=-8

x=2 不成立

（4） x>3時 x-1-2（x-2）+3（x-3）=4

x-1-2x+4+3x-9=4

2x=10

x=5 成立

綜上：原方程的解為1≤x≤2或x=5

以上10道例題分析了如何解含有絕對值號的幾個題型，含有絕對值號的問題在解不等式、函數(shù)、作函數(shù)圖像等問題中也常會遇到。希望同學(xué)們在解題中不斷總結(jié)和歸納，能靈活的解答各種題型。掌握好絕對值的知識，可以增強(qiáng)同學(xué)們的邏輯思維、形象思維、辯證思維等，對于大家今后學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)問題有著非常重要的作用。