應用平面幾何解決帶電粒子在磁場中的運動

李強

【中圖分類號】G633.63 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2014）8 -0201-02

帶電粒子在勻強磁場中受洛倫茲力做勻速圓周運動，根據這一特點該問題的解決方法一般為：一定圓心，二畫軌跡，三用幾何關系求半徑，四根據圓心角和周期關系確定運動時間。其中圓心的確定最為關鍵，一般方法為：①已知入射方向和出射方向時，過入射點和出射點做垂直于速度方向的直線，兩條直線的交點就是圓弧軌跡的圓心。②已知入射點位置及入射時速度方向和出射點的位置時，可以通過入射點做入射方向的垂線，連接入射點和出射點，做其中垂線，這兩條垂線的交點就是圓弧軌跡的圓心。

以上方法簡單明了，但具體求解時，學生對其軌跡的變化想象不出來，從而導致錯解習題。如從以上方法出發，再借助圓規或硬幣從“動態圓”角度分析，便可快而準的解決問題。此類試題可分為旋轉圓和平移圓兩大類型，下面以高考試題為例進行分析。

一、旋轉圓

模型特征

帶電粒子從某一點以大小不變而方向不限定（如0—180°范圍內）的速度射入勻強磁場中，這類問題都可以歸結為旋轉圓問題，把其軌跡連續起來觀察可認為是一個半徑不變的圓，根據速度方向的變化以出射點為旋轉軸在旋轉如圖1。解題時使用圓規或硬幣都可以快捷畫出其軌跡，達到快速解答試題的目的。

典例解析

例：如圖2，在0≤x≤a區域內存在與xOy平面垂直的勻強磁場，磁感應強度的大小為B。在t=0時刻，一位于坐標原點的粒子源在xOy平面內發射出大量同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與y軸正方向的夾角分布在0°～180°范圍內。已知沿y軸正方向發射的粒子在t=t0時刻剛好從磁場邊界上P（a，a）點離開磁場。求：

（1）粒子在磁場中做圓周運動的半徑R及粒子的比荷q/m；

（2）此時刻仍在磁場中的粒子的初速度方向與y軸正方向夾角的取值范圍；

動態分析

由題知沿y軸正方向發射的粒子從磁場邊界上P（a，a）點離開磁場，利用圓規或硬幣可作出其軌跡圖像如圖3，由于粒子速度方向在0°～180°范圍內，其它方向的軌跡可以通過旋轉第一個圓得到（O點為旋轉點），如圖4。從圖中可明顯發現第2問所涉及的粒子軌跡所在位置，利用幾何關系便可解答此題。

二、平移圓

模型特征

帶電粒子在兩個或更多個并列勻強磁場中運動，粒子從一個勻強磁場進入另一個勻強磁場后，若磁場方向相反，根據左手定則得粒子旋轉方向相反，軌跡在交界處必外切，軌跡可認為是圓的平移所得，如磁感應強度大小也變再結合縮放圓處理；若磁感應強度大小變化，根據洛倫茲力提供向心力得粒子運動半徑改變，軌跡在交界處必內切，軌跡可認為兩個半徑不同的圓通過交替平移所得。如圖13所示。

典例解析

例：有一個放射源水平放射出α、β和γ三種射線，垂直射入如圖14所示磁場。區域Ⅰ和Ⅱ的寬度均為d，各自存在著垂直紙面的勻強磁場，兩區域的磁感應強度大小B相等，方向相反（粒子運動不考慮相對論效應）。

（1）若要篩選出速率大于v1的β粒子進入區域Ⅱ，求磁場寬度d與B和v1的關系。

（2）若B=0.0034 T，v1=0.1c（c是光速），則可得d；α粒子的速率為0.001c，計算α和γ射線離開區域Ⅰ時的距離；并給出去除α和γ射線的方法。

（3）當d滿足第（1）小題所給關系時，請給出速率在v1

（4）請設計一種方案，能使離開區域Ⅱ的β粒子束在右側聚焦且水平出射。

已知：電子質量me=9.1×10-31 kg，α粒子質量mα=6.7×10-27 kg，電子電荷量q=1.6×10-19C，≈1+（x≤1時）。

動態分析

此題是縮放圓和平移圓的結合應用。根據洛倫茲力提供向心力，β粒子順時針旋轉，當速度逐漸增大，軌跡半徑在Ⅰ區域不斷變大，當與交界處相切時，速度再增大則進入Ⅱ區域，由于兩區域僅磁場方向相反，所以軌跡在兩區域交界處外切，可通過圓的平移得到粒子運動軌跡，如圖15所示。

小結

從以上分析可知，利用圓規、硬幣從動態圓角度可快捷的解決復雜的帶電粒子在勻強磁場中運動的相關問題，如臨界值、多解等常見問題。這種方法簡單易學，學生也能容易掌握規律。教學中發現學生對這種借助簡單的道具解決問題的方法不僅充滿了好奇心，解決問題的過程中充滿新鮮感，而且在解決完問題后又一片驚嘆：原來問題可以這樣來解決！寓教于樂，給人以深刻的思維啟迪。