遷移理論在數學教學中的應用初探

朱志堅

2016年9月，《中國學生發展核心素養》正式公布，構建了“三個方面、六大素養、十八個基本點”的核心素養體系，旨在培養全面發展的人。我們身為人民教師，在課堂上除了教會學生學習文化知識以外，更重要是讓學生學會學習。在各種各樣的教學方法中，其中運用認知結構遷移理論進行教學，適當培養學生遷移知識的能力，可盡量做到“舉一反三、觸類旁通”的教學效果。

一、認知結構遷移理論

認知結構遷移理論是奧蘇貝爾于1963年在有意義言語學習理論的基礎上提出，這一理論認為，一切有意義的學習都是在原有認知結構的基礎上產生的，不受原有認知結構影響的有意義學習是不存在的。一切有意義的學習必然包括遷移，遷移是以認知結構為中介進行的，先前學習所獲得的新經驗，通過影響原有認知結構的有關特征影響新學習。認知結構有三個變量：可利用性、可辨別性和穩定性。原有的認知結構就是通過這三個變量對新知識的學習產生影響。

奧蘇伯爾還提出，我們老師先設計組織者（也稱“先行組織者”）。所謂“組織者”就是在有意義的學習中，在呈現正式的學習材料之前，先用淺顯、易懂的語言介紹的一些引導性材料。這些能充當新舊知識“認知橋梁”作用的材料，稱之為“組織者”。因它呈現在新學習材料之前，故又稱之為“先行組織者”。設計“組織者”的目的，是為新的學習任務提供觀念上的固定點，增加新舊知識之間的可利用性和可辨別性，以促進類屬性的學習。也就是說，通過呈現"組織者"，給學習者已知的東西與需要知道的東西之間架設一道知識之橋，使他更有效地學習新材料。而且，在認知結構理念中，我們教師是一個組織者，要充分利用好各種材料，改變學生的認知結構變量，提高原有認知結構的可利用性、可辨別性和穩定性，促進新的學習和保持，產生正遷移的作用。

二、數學學科特點

數學是一門研究數量關系和空間形式的科學，它具有嚴密的符號體系、獨特的公式結構、形象的圖像語言。它的思想豐富多彩，有轉化思想，又有方程思想、數形結合思想、函數思想、整體思想等等。在學生數學能力培養方面，它要求學生應具有基礎運算能力、空間想象能力、邏輯思維能力、將實際問題抽象為數學問題的能力等等。但是，在我們的教材體現中，呈現出來的內容只有數學基礎知識的概念、定義、定理、公式等，并且課本上的知識相當有限。那又要如何實現培養學生的數學能力和建立數學思想呢？這就要求我們，在平常的教學中，充分利用好認識結構遷移理論，盡量在每一堂課中，培訓學生正確而又靈活地使用數學知識解題，產生正遷移，從而掌握好數學基礎知識。

三、遷移理論在數學教學中的應用分析

（一）數學概念教學方面的遷移

在數學概念的教學中，我們可以借助以前學過的知識進行遷移。如我們在進行“乘方”運算概念教學時，可這樣操作：把一張紙對折2次，可裁成4張，即2 × 2張；若對折3次，可裁成8張，即2 × 2 × 2張。

問題1：若對折10次可裁成幾張？請用一個算式表示（不用算出結果）。

問題2：若對折100次，算式中有幾個2相乘？

學生們可寫出：對折10次裁成的張數用以下算式計算：

是一個10個2相乘的乘積式。

對折100次裁成的張數，可用算式

計算，在這個積中有100個2相乘。

問：這么長的算式有簡單的記法嗎？

回憶我們已經學過的乘法運算概念。我們當時是這樣學的：

2個a相加可記為：a + a = a x 2；

3個a相加可記為：a + a + a = a x 3；

4個a相加可記為：a + a + a + a= a x 4；

n個a相加可記為：

同樣，有邊長為a的正方形面積可記為：a · a = a2；

棱長為a的正方體體積可記為：a · a · a = a3；

那么，4個a相乘可記為：a · a · a · a= ？

n個a相乘可記為：

從而可引出乘方這個運算概念：求n 個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪，記作：an。

在這里，我們成功地借鑒了乘法運算的由來：n個相同加數的和的運算，可用乘法表示。類似地，n 個相同因數的積的運算呢？學生自然地想到，那它叫做什么運算？怎樣表示它顯得更簡潔？

你看，我們教師只需將它們的相似之處放在一起，讓學生進行比較，學生更能從中找到規律，歸納總結經驗，輕而易舉地得出乘方概念和它的數學表示方法。

講完乘方的概念后，我們還可順勢而為，分別對乘法運算與乘方運算的異同之處進行比較教學，加深學生對乘方概念的理解。

這樣的教學，我們充分應用了認知結構遷移的可利用性和可辨別性，起到“舉一反三，觸類旁通”的作用，學生的知識結構生成可更加自然，理解更加深化，記憶更加深刻。

（二）數學公式應用方面的遷移

在數學公式的教學中，我們一定要先教育學生認識其結構特征或其成立的條件，然后才遷移運用到其他領域，靈活解題。

例如：平方差公式的教學中，我們先認識平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2。其語言表述為：兩個數的和與這兩個數的差的積等于這兩個數的平方差。

其結構特征是：等號左邊是兩個二項式相乘，且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數，等號右邊是乘式中兩項的平方差，且是相同項的平方減去相反項的平方。另外，其中字母a、b可以是具體的數，也可以是單項式或多項式。

也就是說，當我們碰到的式子滿足平方差公式的左邊特征時，我們可直接應用此公式；或滿足平方差公式的右邊特征時，可逆用此公式。如練習題中的（-x+2y+3z）（-x -2y+3z），其中相同的項是（-x+3z），相反的項是2y或-2y，故可直接應用平方差公式得到：（-x+3z）2 -（2y）2；又如，因式分解a4-b4時，因為a4-b4可化為（a2）2-（b2）2，滿足平方差公式的右邊結構，故可先分解為（a2+b2）（a2-b2）。

總之，我們教師的教學應充分重視和利用好認知結構遷移，在提高效率的同時，切實提高教學質量。在知識激增和信息革命的今天，知識的遷移更有著它的重大意義，老師應用遷移方法進行教學和培養學生將學到的知識技能成功地遷移到新的情境、新的課題，已經是新時代下的迫不及待的要求。“為遷移而教”是有效教學的一條重要原則，“不需要教”是教學的一項重要目標。老師進行遷移方法教學，有效地培養學生的遷移能力，是教師實現“教”且為了最終“不教”的關鍵，是提高學生素質的有效途徑。

責任編輯 徐國堅