“知識與認(rèn)知相結(jié)合”在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

羅燕平

摘 ? ?要： 數(shù)學(xué)知識構(gòu)建和形成的過程其實就是“知識與認(rèn)知相結(jié)合”、構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，與固定化的數(shù)學(xué)知識比較而言，認(rèn)識策略有很大的研究和拓展空間。由此，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)結(jié)合各階段學(xué)生的個性特征，傾力培養(yǎng)和提高他們建立自我認(rèn)知策略的能力，這樣既能提高學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識、運用數(shù)學(xué)知識的能力，又能為學(xué)生終身學(xué)習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué)教學(xué) ? ?數(shù)學(xué)知識 ? ?認(rèn)知結(jié)構(gòu) ? ?教學(xué)應(yīng)用

引言

通過對高中數(shù)學(xué)教學(xué)情況的實際調(diào)查，筆者發(fā)現(xiàn)了這樣一種現(xiàn)象：大多數(shù)學(xué)生對于教師課堂所授的知識內(nèi)容都能聽懂和掌握，卻無法準(zhǔn)確將其應(yīng)用于現(xiàn)實生活中解決實際問題，這種現(xiàn)象并未因課程改革的深化而得到解決，究其根源就在于我們忽視了對學(xué)生自我認(rèn)知能力的培養(yǎng)。對于大多數(shù)高中生而言，數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)無非就是知識的理解和掌握及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的增強(qiáng)，而依據(jù)實際調(diào)查的現(xiàn)狀分析，學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識處理問題的能力、對于現(xiàn)實生活實踐的認(rèn)知能力都存在一定的問題，這些問題成為阻礙學(xué)生數(shù)學(xué)能力提高的最大障礙。針對這樣的問題，筆者認(rèn)為只有將“知識與認(rèn)知相結(jié)合”的學(xué)習(xí)策略有效應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，才能真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。

一、闡明數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的涵義

顯而易見，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)是兩個完全不同的概念，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是一個主觀的動態(tài)過程，而數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)則是以靜態(tài)的、客觀的狀態(tài)存在。本文所闡明的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，則是指數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)通過學(xué)生頭腦的反復(fù)思維和不斷加工形成的一種模式。總體來說，就是學(xué)生在不斷學(xué)習(xí)的過程中培養(yǎng)和形成的知識構(gòu)建能力、自我認(rèn)知能力和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的能力系統(tǒng)。這些能力包括以下三類：一是對于數(shù)學(xué)知識概念、公式的概括能力;二是學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，選擇切實可行的數(shù)學(xué)方法的能力;三是數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)建模的能力及解決數(shù)學(xué)問題的能力。

二、高中數(shù)學(xué)知識的特征

（一）較強(qiáng)的抽象性。

譬如函數(shù)、集合等這些數(shù)學(xué)知識內(nèi)容都不是具體的、直觀的，而且立體幾何的內(nèi)容也都缺乏直觀性和具體性，這給學(xué)生預(yù)留了思維想象的空間，推進(jìn)了學(xué)生想象和思維能力由直觀型、經(jīng)驗型向理論型、抽象型的轉(zhuǎn)變。

（二）較大的密集性。

高中數(shù)學(xué)知識內(nèi)容過于紛繁蕪雜，每一章節(jié)的知識密集性加大，對于學(xué)生來講，上一節(jié)的新授知識還未來得及掌握和消化，又一節(jié)新的知識接踵而至，給學(xué)生的感覺是看似聽懂和掌握了新授知識，但是做課后作業(yè)時卻顯得捉襟見肘。

（三）較強(qiáng)的獨立性。

高中數(shù)學(xué)知識各章節(jié)的內(nèi)容都具有相對的獨立性，具有各自鮮明的個性特征，由此必須努力發(fā)掘各章節(jié)內(nèi)容和各部分內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，這是提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的著力點。

（四）較強(qiáng)的應(yīng)用性。

高中教材知識內(nèi)容都是借助于大量的實地取材、一些實際問題而實現(xiàn)新知識的引入，為基礎(chǔ)知識的講授提供基礎(chǔ)的實際背景，使學(xué)生切實感受到應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的成功體驗，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的應(yīng)用意識。

三、“知識與認(rèn)知相結(jié)合”在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

（一）教師積極引導(dǎo)學(xué)生不斷強(qiáng)化自身的認(rèn)知策略。

居于高中數(shù)學(xué)內(nèi)容復(fù)雜性的特征，也不是所有學(xué)生都能自主形成一定的認(rèn)知策略，這就需要通過教師的有效引導(dǎo)實現(xiàn)，教師可借助于客觀的載體或采取切實可行的措施，指引學(xué)生自主進(jìn)行“知識與認(rèn)知的結(jié)合”，在頭腦中構(gòu)建起解決問題的知識系統(tǒng)模型，促使他們形成一定的認(rèn)知策略。譬如，在講授“幾何概型”的教學(xué)中，筆者就注意到學(xué)生對于“拿一段長度3m的繩子，將其拉直，隨意在哪個位置剪斷，那么所剪兩段的長度都不小于1m的概率有多大”這個問題存在理解上的偏差，他們無法理解將繩子三等分的意義，而教師可以就此引導(dǎo)學(xué)生實現(xiàn)知識與認(rèn)知的結(jié)合，逐漸培養(yǎng)他們形成一定的認(rèn)知策略。筆者將問題中的1m變?yōu)?.5m，并引導(dǎo)學(xué)生逐漸掌握此類問題計算概率關(guān)鍵在于如何構(gòu)建剪斷模型，可借助作圖的方式認(rèn)識到所剪位置處于繩子的具體哪段。這種具體化幾何面、幾何體的概率計算，可采用類似的方式，學(xué)生對于測度的概念便有了深刻理解，于是就掌握了幾何概型中如何計算概率的方式。接下來，對于幾何概型的概念和概率計算的公式進(jìn)行“回顧”，使學(xué)生逐漸領(lǐng)悟如何構(gòu)建一個系統(tǒng)的數(shù)學(xué)概念，這與教師的積極引導(dǎo)是分不開的。

（二）著力構(gòu)建起舊知識向新知識過渡的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

有效學(xué)習(xí)其中關(guān)鍵一點就是學(xué)生自主將所學(xué)新知識與其認(rèn)知結(jié)構(gòu)中存在的舊知識進(jìn)行緊密聯(lián)系，這就需要構(gòu)建起舊知識向新知識過渡的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。首先要激發(fā)學(xué)生構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)的興趣。興趣是最好的老師，有了極大的興趣，才能發(fā)掘出內(nèi)在的靈感和智慧。由此，教師應(yīng)將抽象化的理論知識盡量具體化、直觀化，可借助于直觀的圖形、貼切的比喻和恰當(dāng)?shù)膶嵗＠纾凇八惴ǔ醪健币徽陆虒W(xué)中，可借助于典型實例（一元二次方程求解、二元一次方程求解、函數(shù)作圖等），引入基本算法的思想和結(jié)構(gòu)，接下來通過“秦九韶算法”、“進(jìn)位制”等為例，指引學(xué)生自主開始模仿和操作，構(gòu)建起新舊知識的認(rèn)知結(jié)構(gòu);此外，還可以利用連續(xù)的定義與植物的生長形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)，利用導(dǎo)數(shù)的概念與運動變化形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這樣能最大限度地激發(fā)學(xué)生建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的興趣，加強(qiáng)學(xué)生對于新概念和新知識的理解和掌握。其次，應(yīng)積極營造適宜的問題情境，只有切實從學(xué)生所熟悉的現(xiàn)實生活中捕捉實例，才能喚醒學(xué)生的問題意識，才能使學(xué)生自主構(gòu)建起他們腦海中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。教師所設(shè)計的問題情境的方式和難度要適中，在講授函數(shù)連續(xù)性的內(nèi)容時，可設(shè)計這樣的問題：溫度呈連續(xù)變化狀態(tài)，那么，10分鐘、1分鐘或0.01秒的時間我們能感受到其變化嗎？讓他們逐漸領(lǐng)悟函數(shù)連續(xù)性的概念，還可以用“多米諾骨牌”幫助學(xué)生構(gòu)建起數(shù)學(xué)歸納法的概念模型。

（三）利用數(shù)學(xué)知識的外在、內(nèi)在美學(xué)構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)知識蘊含了深刻的美學(xué)特性，具備外在的美、內(nèi)在的美，具備形式的美、內(nèi)容的美，具備思想的美、方法的美。由此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，就需要有效利用數(shù)學(xué)知識的美激發(fā)學(xué)生的興趣，陶冶學(xué)生的情操，同時應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)美的角度構(gòu)建起穩(wěn)固的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。首先，善于利用數(shù)學(xué)的外在美，無論代數(shù)中的公式，抑或是幾何中的圖形都會給人一種和諧的美感，可以借助于數(shù)學(xué)計算軟件繪制平面或立體圖形，在展現(xiàn)這些知識外形美的同時，可以引入歐拉公式加強(qiáng)對于數(shù)學(xué)公式的理解和掌握。其次，挖掘數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在美，可利用羅比達(dá)法則感受求出極限的快捷，利用冪函數(shù)促進(jìn)強(qiáng)對于函數(shù)研究的深入，便能構(gòu)建起知識與認(rèn)知結(jié)合的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。此外，應(yīng)善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)神奇的美，數(shù)學(xué)知識神奇的美往往是“出人意料”，例如，將兩個圓柱體沿上端往下垂直截開，將此截面展開后，發(fā)現(xiàn)其截線對應(yīng)的曲線竟是一條正弦曲線;所謂“斐波那契數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，…這個數(shù)列竟然詮釋了大自然中的很多奧秘，像向日葵的圓盤、花朵的瓣數(shù)，等等;而且，這個數(shù)列還使黃金比例1.618的分割率得以驗證，就是說此數(shù)列每一項與其后面相鄰一項比的極限為黃金分割律，學(xué)生被這些令人震嘆的美深深吸引。

結(jié)語

總體來看，高中數(shù)學(xué)知識有其一定的復(fù)雜性，而認(rèn)知策略才具備豐富的研究和拓展空間，由此，我們必須依據(jù)高中生的個性特征，幫助他們實現(xiàn)知識與認(rèn)知的有效結(jié)合，培養(yǎng)他們形成自我認(rèn)知策略的意識和能力，從而為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)和發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ)。

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