第一次數學危機

賈蕓蕓

第一次數學危機，是數學史上的一次重要事件，發生于大約公元前400年左右的古希臘時期，自根號2的發現起，到公元前370年左右，以無理數的定義出現為結束標志.這次危機的出現沖擊了一直以來在西方數學界占據主導地位的畢達哥拉斯學派，同時標志著西方世界關于無理數的研究的開始.

1. 歷史背景

畢達哥拉斯（約公元前572年—公元前492年）是一位古希臘的數學家及哲學家，他曾有一句名言“凡物皆數”，意思是萬物的本原是數，數的規律統治萬物.不過要注意的是，在那個年代，他們相信一切數皆可以表達為整數或整數之比——分數，簡單而言，他們所認識的只是有理數.

當時的人只有有理數的概念是絕不奇怪的. 整數是在對于對象的有限數量進行計算的過程中產生的抽象概念.日常生活中，不僅要計算單個的對象，還要度量各種量，例如長度、重量和時間.為了滿足這些簡單的度量需要，就要用到分數.于是，如果定義有理數為兩個整數的商，那么由于有理數系包括所有的整數和分數，所以對于進行實際量度是足夠的.

有理數有一種簡單的幾何解釋.在一條水平直線上，標出一段線段作為單位長，如果令它的定端點和右端點分別表示數0和1，則可用這條直線上的間隔為單位長的點的集合來表示整數，正整數在0的右邊，負整數在0的左邊.以q為分母的分數，可以用每一單位間隔分為q等分的點表示.于是，每一個有理數都對應著直線上的一個點.

2. 危機爆發（無理數的發現）

偉大的時刻來臨了，畢達哥拉斯發現了現時眾所周知的勾股定理（其實中國于公元前1100年已有此定理），從這個定理中，畢達哥拉斯發現了一件不可思議的事，就是腰長為1的等腰直角三角形的斜邊長度，竟然是一個無法寫成為有理數的數.亦即是說有理數并非一切數，存在有理數以外的數，有理數不可以完全填滿整條數軸. 他們心中的信念完完全全被破壞了，他們所恃和所自豪的信念完全被粉碎.在當時的數學界來說，是一個極大的震撼，也是歷史上的第一次數學危機.

3. 危機解決

約在公元前370年，柏拉圖的學生攸多克薩斯（Eudoxus，約公元前408年—前355年）解決了關于無理數的問題. 他純粹用公理化方法創立了新的比例理論，巧妙地處理了可公度和不可公度. 他處理不可公度的辦法，被歐幾里得《幾何原本》第二卷（比例論）收錄，并且和狄德金于1872年繪出的無理數的現代解釋基本一致. 21世紀的中國中學幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微妙之處.

4. 第一次數學危機影響

第一次數學危機表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示. 反之，數卻可以由幾何量表示出來.整數的尊崇地位受到挑戰，古希臘的數學觀點受到極大的沖擊.于是，幾何學開始在希臘數學中占有特殊地位.同時也反映出，直覺和經驗不一定靠得住，而推理證明才是可靠的.從此希臘人開始從“自明的”公理出發，經過演繹推理，并由此建立幾何學體系.這是數學思想上的一次革命，是第一次數學危機的自然產物.

回顧在此以前的各種數學，無非都是“算”，也就是提供算法.即使在古希臘，數學也是從實際出發，應用到實際問題中去的.例如，泰勒斯預測日食、利用影子計算金字塔高度、測量船只離岸距離等等，都是屬于計算技術范圍的.至于埃及、巴比倫、中國、印度等國的數學，并沒有經歷過這樣的危機和革命，也就繼續走著以算為主、以用為主的道路.而由于第一次數學危機的發生和解決，希臘數學則走上完全不同的發展道路，形成了歐幾里得《原本》的公理體系與亞里士多德的邏輯體系，為世界數學作出了另一種杰出的貢獻.據史籍記載，古代的希臘和中國，很早就發現了無理數.然而東西方卻通過不同的途徑來認識和發展無理數的理論：希臘人著眼于幾何量的長度關系，從線段不可公度的幾何角度入手，用邏輯方法進行探討；中國人著重滿足實際應用的數的運算，從開方不盡的計算過程入手，通過計算方式來認識并建立其法則.

但是，自此以后希臘人把幾何看成了全部數學的基礎，把數的研究隸屬于形的研究，割裂了它們之間的密切關系.這樣做的最大不幸是放棄了對無理數本身的研究，使算術和代數的發展受到很大的限制，基本理論十分薄弱.這種畸形發展的局面在歐洲持續了2000多年.

（作者單位：江蘇省淮安外國語學校）endprint