解密“自轉的硬幣”

于子晗

今天老師提出一個問題：

現有甲、乙兩枚大小相同的硬幣，先將硬幣甲固定在桌面上，讓硬幣乙沿著硬幣甲的邊緣無滑動滾動一周回到原來的位置，那么滾動的硬幣乙自轉了多少圈？

課堂頓時活躍起來，同學們各抒己見. 快嘴張說：“這個很簡單，兩圓的周長相等，硬幣乙轉一圈.”組里其他同學也跟著附和：“對，就是一圈.”組長說：“依我看，題目不會這么簡單，我們做個實驗看看吧！”組長從口袋里找出兩枚一元的硬幣，做起了實驗. 組里的人都目瞪口呆：硬幣乙不是轉了一圈. 好像是兩圈. “不可能. 讓我來試試. ”快嘴張喊道. 于是在同學們的注視下，快嘴張又親自做了實驗. “果然是兩圈，”快嘴張臉紅了起來，疑惑地說，“怎么會這樣呢？難道我們的經驗不對嗎？圓周滾動過的路線長除以圓的周長不應該就是圓轉過的圈數嗎？”組內陷入了沉思.

這個問題也引起了我的思考. 經過幾天的研究和探討，我終于明白了其中的道理. 現在把我的研究和大家一起分享，請大家指導.

我們先來看一個簡單的問題：如圖1，硬幣（直徑為2.5 cm）在一直線上滾動一周，起點為A，終點為B，那么AB的長是多少呢？顯然AB的長等于硬幣的周長. 于是我們得出這樣的結論：滾動中圓周滾動過的路線長除以圓周長等于圓所滾動的圈數.

但我們再看第二個問題：如圖2，一圓周長與等邊三角形邊長相等，若該圓沿等邊三角形三邊做無滑動滾動一周，直到回到原來的出發點，該圓自轉了幾圈？

由前一個問題知，圓由A到C，或由C到B，或由B到A分別自轉了1圈，圓O由AB邊上的A點轉到AC邊上的A點，OA在平面內繞A點旋轉了120°（如圖3），點O從O1的位置轉到O2的位置，轉過了三分之一圓周. 在三個頂點處共旋轉了360°，即自轉了一圈，所以該圓共自轉了4圈.

通過上面的分析我們發現，當圓不在直線上滾動時，圓周接觸點不發生變化但圓也會發生轉動. 因此，探究圓轉過的圈數應觀察其圓心位置的變動路程，而不是圓滾動過的路線，即圓心經過的路程÷圓周長=圈數. 有了這樣的規律，下面再看開始的問題就不會落入陷阱中去了.

問題解決：

設兩枚硬幣的半徑為R，硬幣甲的圓心為O1，硬幣乙的圓心為O2，則滾動過程中，硬幣乙的圓心在以O1為圓心，2R為半徑的圓上運動，所以硬幣乙自轉了（2π·2R）÷（2πR）=2（圈）.

下面我們來看另一個問題：

如圖4，一枚5角的硬幣（直徑為2 cm）繞一枚1元的硬幣（直徑為2.5 cm）的邊緣無滑動滾動一周回到原來的位置，那么5角的硬幣自轉了多少圈？

設圓C和圓D分別代表5角和1元的硬幣，當圓C繞圓D滾動一周時，圓心C在以點D為圓心，2.25 cm（兩直徑之和除以2） 為半徑的圓上運動，所以圓C自轉了（2π·2.25）÷（2π·1）=2.25圈. 這與實驗結果也是一致的.

現在我們把上述情況推廣到一般情況：

如圖6，若圓O1的半徑為r，圓O2的半徑為R，且滿足R=kr，圓O1沿圓O2外無滑動地滾動一圈回到原出發點，則圓O1自轉了（k+1）圈.

解：如圖6當圓O1繞圓O2滾動時，圓心O1在以O2為圓心，（kr+r）為半徑的圓上運動，所以圓O1自轉了[2π·（kr+r）]÷（2π·r）=（k+1）圈.

善于思考，勤于實踐，看似簡單的問題也會有不一樣的答案. 這也正是數學的神奇之處.

以上是個人粗淺的見解，不足之處，歡迎指正.endprint