滾動中的“秘密”

支春竹

問題提出：

甲、乙兩枚大小相同的硬幣，現將硬幣甲固定在桌上，讓硬幣乙沿著硬幣甲的邊緣無滑動滾動一周回到原來的位置，那么滾動的硬幣乙自轉了多少圈？

解題思路：

我們同學拿到這樣的動態幾何題，常常不是用大腦的無限空間來思考，而是很自然地想去拿硬幣試試. 任何原理都是在實驗的基礎上猜想再證明得出的，這種想法是很好的，但是，大部分實驗都只是用來感受的，用來估測的，所有實驗都避免不了誤差，所以，實驗只能給你提供一個目標，并不能給你一個明晰的解答過程.

既然是運動的，首先是要明白物體的運動軌跡，要學會抽象且全面地在圖形上表現出來. 如下圖所示，讓硬幣乙沿著硬幣甲的邊緣無滑動滾動一周回到原來的位置，就抽象成兩個相切的圓.我們要想知道轉的圈數，就要知道硬幣乙的運動路程.圓的運動路程比較容易求出，便是圓心的運動路程. 在圖中作出圓心的運動軌跡.假設兩個圓的半徑都為r，由此，我們可以清晰地發現圓乙（即硬幣乙）的運動路程就是以圓甲（即硬幣甲）的圓心為圓心，以2r為半徑的圓的周長，即4πr，它自身的周長是2πr. 所以一共滾了2圈.

這種方法很容易想到，圓的運動路程就是圓心的運動路程是解決本題的關鍵所在. 當然，如果覺得圖形不易理解，我們還可以趣味想象.

我們先把這兩個圓看成兩個質點（即兩個圓的圓心），但它們有各自的屏障，任何物體必須和它們保持r的距離，那么這兩個點距離最近為2r. 現在，其中一個點想360°地觀察另一個點，則它要行走4πr的路程，回歸原題，可知一共滾了2圈.

反思總結：

這個問題的解決可以分兩步走：第一步把這個問題看作是一個平移，硬幣乙平移的路程是硬幣甲的一個周長；第二步看作硬幣乙的旋轉，硬幣自轉一周的路程是硬幣乙的周長. 再用硬幣乙平移的路程除以硬幣乙的周長就是硬幣乙自轉的圈數.

實驗讓我們明確探究的方向，對問題有感性的認識，理性的思考更會讓我們透視問題的本質，正如華羅庚所說，“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，您說是嗎？endprint