例談類比法在中學數學中的應用

陳禮芳

類比法，就是根據兩個對象之間在某些方面的相同或相似之處的比較，通過聯想和猜測，推出它們在其他方面也可能相同或相似的地方，從而去建立猜想和發現真理的方法。這種方法在中學數學教學與研究中的應用很廣泛，對數學知識的勾連與綜合、對數學技能的培養與發展，尤其是對數學思維的養成與完善，都有極其重要的作用。常用的類比有：

一、數與式的類比

數與式的類可從分式與分數類比探討。分式的有關概念和性質與分數相類似。例如分式和分數一樣分母都不能為0;分式的性質與分數的基本性質相類似;分式的加減法與分數的加減法的運算方法相類似;分式的通分與約分與分數的通分與約分相類似;因此在教學分式的有關概念和性質時可類比分數的有關概念和性質進行教學，這樣學生易于理解，便于他們接受，還能培養學生思維的靈活性。

二、有理式與無理式的類比

有理式與無理式的類比如二次根式與整式的類比：二次根式的加減運算與整式的加減運算類似，分別是合并同類二次根式和合并同類項;二次根式的乘法運算與整式的乘法類似。

如：

三、數與形的類比

在數學研究中，數與形的類比經常在相反的方向上得到應用。即通過與“形”的比較去推測“數”的有關性質，又通過與“數”的比較去推測“形”的有關性質。

例：k為何值時，方程組

①有一組解？ ?②兩組解？ ?③無解？（利用數與形類比，解法直觀，簡單明了）。

方程組有一組解，即直線與半圓只有一個交點;有二組解，即直線與半圓有兩個交點;無解，即直線與半圓無交點。

所以，當 ? ? ? ? ? ? ? ?時有兩解。

四、全等與相似的類比

全等與相似的類比可由相似三角形與全等三角形間的類比進行探討。相似三角形與全等三角形判斷方法有聯系，在相似與全等三角形的判定中，有關角的條件都是對應角相等。有關邊的條件，全等三角形中是對應邊相等而相似三角形中是成比例，只要把全等三角形判定中的對應邊相等改為對應邊成比例，就相應得到相似三角形的判定方法。全等三角形必須有一組對應邊相等，而判定相似三角形時，則可舍去此條件。

概念的區別。全等三角形是能夠完全重合的三角形。包括形狀相同，大小也相同兩個方面;相似三角形只是形狀相同而大小不一定相同。即只是對應角相等，而對應邊成比例，當對應邊的比值等于1時，就全等，因此全等三角形是相似三角形的特例。掌握它們之間的聯系與區別，問題就會迎刃而解。

五、平面與空間的類比

把立體幾何知識與相關的平面幾何知識類比，是實現知識遷移的有效方法，也利于化難為易，啟迪思維。常用的思路有：由平面圖形中點的性質類比推理出空間里的線的性質，由平面圖形中線的性質類比推理出空間中面的性質，由平面圖形中面的性質類比推理出空間中體的性質.

如，關于勾股定理，可有幾個類比：

勾股定理：在直角邊長為a、b，斜邊長為c的直角三角形中，有

類比1：長、寬、高分別為p、q、r，對角線長為d的長方體中，有

類比2：長方體交于某一頂點的三個長方形面的對角線長分別為p，q，r，長方體對角線長為d，則有

類比3：四面體交于一個頂點O的三條棱兩兩互相垂直，與O相鄰的三個面的面積分別為A，B，C，與O相對的面的面積為D，則有：

六、有限與無限的類比

例：因為圓可看成是正多邊形當邊數趨于無窮時的極限情形。因此，依據“三角形的面積等于底與高的乘積的一半”的結論，可證：正多邊形的面積等于周長與邊心距乘積的一半。從而類比出圓的面積等于其周長與半徑乘積的一半。

數學中相近、類似的問題很多，諸如“整數指數冪的運算性質”與“分數指數冪的運算性質”;“方程”與“不等式”;“橢圓”和“雙曲線”;“直線和圓的位置關系”與“點和圓的位置關系”;“等差數列與等比數列”等等，它們彼此都有相類似的地方，若能在教學中靈活運用“類比”的方法，揭示這些知識之間的關系，對于學生掌握數學知識具有極大的幫助。

（作者單位：江蘇南通市第三中學）