勾股定理的經典證法

楊秀琴

勾股定理是幾何學中的明珠，千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數學家，也有業余數學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統，也許是因為勾股定理既重要又簡單，更容易吸引人，所以反復被人論證.

【“總統”證法的由來】1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時的美國俄亥俄州共和黨議員，后來成為第二十任總統的伽菲爾德.他走著走著，突然發現附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在熱烈地談論著什么，時而大聲爭論，時而小聲探討. 好奇心驅使下，伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什么.只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形，于是伽菲爾德便問他們在干什么，那個小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答道：“是5呀.”小男孩又問道：“如果兩條直角邊長分別為5和7，那么這個直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不假思索地回答道：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩又說：“先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心里很不是滋味.

于是，伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他出的難題.他經過反復思考與演算，終于弄清了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法. 下面介紹的是伽菲爾德對勾股定理的證法.

這一證明由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明相當簡潔. 1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發表了他對勾股定理的這一證明. 5年后，伽菲爾德就任美國第二十任總統. 后來，人們為了紀念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為勾股定理的“總統”證法，這在數學史上被傳為佳話.

【畢達哥拉斯證法】

畢達哥拉斯是古希臘數學家、哲學家，他的方法為：下圖中左邊的正方形是由1個邊長為a的正方形和1個邊長為b的正方形以及4個直角邊分別為a、b，斜邊為c的直角三角形拼成.右邊的正方形是由1個邊長為c的正方形和4個直角邊分別為a、b的直角三角形拼成的. 這兩個正方形的面積相等.

以上給大家介紹了幾種勾股定理的經典證法，可以讓大家更深入地理解勾股定理的結構. 從不同角度對勾股定理進行了證明，啟迪大家對同一個問題要從不同的角度來思考和看待. 學好勾股定理對以后探究很多數學問題和實際問題都有很大的幫助.

（作者單位：江蘇省鎮江市外國語學校）