神奇的勾股數

謝青芯

勾三股四弦五，短短六個字，極為精煉地概括了我國一項偉大的數學發現：勾股定理. 大家也許從小學起就略有耳聞，但當時也許并不知道這些小小的數組有多奇妙吧. 今天，就讓我們一起走進這神奇的“勾股世界”.

若a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2（m>n，m，n為正整數），那么a，b，c是勾股數嗎？這是老師交給我們的問題. 教室里很快炸開了鍋，同學們你一句我一句地爭論起來. “會不會跟完全平方有關系啊？”“要不代幾個數進去試試看吧！”

我們小組采用了常規的數學探究方法：從特殊到一般. 先從特殊情況開始探究，令m=2，n=1，代入，得a=（m+n）×（m-n）=（2+1）×（2-1）=3×1=3，b=2×2×1=4，c=22+12=5. 按這樣的方法得出的數據剛好是3，4，5，即我們最常見的一組勾股數. 這一結果，讓我們所有組員欣喜不已. 大家似乎都被激起了斗志，繼續尋找著規律. 再次代入兩組數據之后，我們都驗證得出了與一開始相同的實驗結果. 接下來我們決定從一般角度驗證這一結果的正確性. 若a，b，c分別為直角三角形的三邊（a，b為直角邊，c為斜邊），則有a2+b2=c2. 將a，b，c所代表的數值代入，得到了（m2-n2）2+（2mn）2=（m2+n2）2.

那么這個等式是否成立呢？我們可以通過計算來證明. 將完全平方式全部展開，得到左邊=（m2）2+2m2n2+（n2）2，即（m2+n2）2，與右邊式子相等，等式成立，a，b，c為勾股數.

后來，同組的同學提出了一點異議：我們代入的數據都是a、b為直角邊，c為斜邊，那如果a、c為直角邊，b為斜邊或b、c為直角邊，a為斜邊的話，等式還成立嗎？這一提問，讓所有人再一次陷入了沉思. 于是我們又進行了更深層的探究. 我們又得到了兩個式子：（m2-n2）2+（m2+n2）2=（2mn）2和（m2+n2）2+（2mn）2=（m2-n2）2. 經過計算，我們發現這兩個結果并不成立. 就是說，a，b，c的結果確實為勾股數，但是在應用時，我們也要注意斜邊與直角邊的關系.

經過大家的努力探究，我們得到的規律便是：若a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2（m>n，m，n為正整數），那么a，b，c為勾股數. 在探究中，我們也注意到了必須讓a，b為直角邊，c為斜邊，這一組勾股數才可以成立.

通過一步一步地猜想證明，最終得出結論，這也許便是數學的魅力之所在吧. 我們要善于發現、學會總結，更多的奧秘等著我們去發現！

（指導教師：李 娜）