勾股定理中的數學思想方法

祁靜

勾股定理是數學中幾個重要定理之一，其中蘊含了多種數學思想方法，總結概括數學思想有利于透徹地理解所學知識，而熟練地運用這些思想則可提高獨立分析問題、解決問題的能力.現將常見的數學思想列舉如下.

一、 方程思想

方程思想是初中數學中的一種基本的數學思想方法.在含有直角三角形的圖形中，求線段的長往往要應用勾股定理，如果無法直接用勾股定理來計算，則需要列方程解決.

【點評】勾股定理說到底是一個等式，而含有未知數的等式就是方程，所以在利用勾股定理求線段的長時常常利用解方程來解決. 勾股定理表達式中有三個量，如果條件中只有一個已知量，必須設法求出另一個量或求出另外兩個量之間的關系，這一點是利用勾股定理求線段的長時需要明確的思路.

二、 數形結合思想

所謂數形結合就是根據數與形之間的對應關系，將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，從而達到迅速解決問題的目的.

例2 在一棵樹的10 m高處有兩只猴子，其中一只爬下樹直奔離樹20 m的池塘，而另一只爬到樹頂后直撲池塘，距離以直線計算，如果兩只猴子經過的距離相等，問這棵樹有多高？

【分析】根據題意畫出圖形，再在直角三角形中運用勾股定理構建方程求解.

解：如圖2所示，

【點評】在一些求值計算題中，有些題目沒有給出圖形，當畫出符合題意的圖形不唯一時，要注意分情況進行討論，避免遺漏.

四、 轉化思想

轉化思想是指將陌生的問題轉化為熟悉的問題，將繁雜轉化為簡單，將綜合轉化為基本的一種解題手段.如在幾何題中，將多邊形轉化為三角形，將空間圖形轉化為平面圖形等都是轉化思想的具體體現.

例4 已知長方體的長BC=2 cm，寬AC=1 cm，高AA′=4 cm. 一只螞蟻如果沿長方體的表面從A點爬到B′點，那么沿哪條路最近？最短路程是多少？

【分析】在長方體上爬行，從A點爬到B′點至少需要經過兩個面，因此螞蟻爬行路線是曲線或折線，不易計算其長度，將長方體沿棱打開，則從A點爬到B′點的距離是線段AB′的長度.

解：根據題意，如圖6所示，最短路徑有以下三種情況：

答：最短路徑為（1）所示的5 cm.

【點評】在立體圖形的表面討論最短距離，求解的基本步驟是：（1）將立體圖形轉化為平面圖形，長方形通常有幾種不同的展開方式，而正方體、圓柱、圓錐通常只有一種；（2）連接兩點，利用“兩點之間線段最短”，求得兩點之間線段長度，通過比較，得出答案.

（作者單位：江蘇省鎮江市外國語學校）