勾股定理，數與形的完美結合

潘紅

勾股定理有著悠久的歷史，在數學發展中起著重要的作用.它揭示了一個直角三角形三條邊之間的數量關系——如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.定理的本身實現了“形”的特點與“數”的特點的結合.

數學家華羅庚認為，“數缺形時少直觀，形少數時難入微”. 在運用勾股定理解題時，若能正確地把握數形結合的思想方法，則可使思路更開闊，方法更簡便快捷.

例題 蘇科版教材八上第78頁圖3-1.

【解析】書上利用方格，運用“割”和 “補”兩種方法計算以AB為一邊的正方形面積，發現：以AB為一邊的正方形面積等于以BC為一邊的正方形面積與以AC為一邊的正方形面積的和.并讓學生自己在方格紙上操作設計任何一個直角三角形，進一步發現，以直角三角形的各邊為一邊的正方形之間都有這樣的數量關系. 把圖中3個正方形的面積表達成邊的平方，即得AC2+BC2=AB2.

從勾股定理的驗證過程中，學生體驗了從小方格的數量到正方形的面積、從正方形的面積到正方形的邊長、從正方形的邊長到三角形的形狀的轉換過程，進行了形到數、數到形的聯想，感悟到數與形的內在聯系.

如果把勾股定理的邊的平方理解為正方形的面積，那么從面積的角度來說，勾股定理還可以進行推廣.

變式一：如圖1，以Rt△ABC的三邊長為邊作三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的面積S1，S2，S3之間有何關系？

【解析】等邊三角形的面積S1，S2，S3的表示均與直角三角形的邊長有關：

S1=·BC·

BC=BC2，

同理S2=AC2，S3=AB2.

所以S1+S2=（BC2+AC2）=AB2=S3.

即S1+S2=S3.

變式二：如圖2，以Rt△ABC的三邊長為直徑作三個半圓，則這三個半圓的面積S1，S2，S3之間有何關系？

【解析】S1=πBC2，S2=πAC2，S3=πAB2.

所以S1+S2=π（BC2+AC2）=πAB2=S3.

即S1+S2=S3.

通過這兩題根據勾股定理得到的結論，我們可以猜測若以直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以直角三角形的兩條直角邊為邊長的正多邊形面積之和等于以斜邊為邊長的正多邊形的面積.再次通過勾股定理感受到數與形的完美結合.

變式三：如果將變式二的圖中斜邊上的半圓沿斜邊翻折180°，成為圖3，請驗證：“兩個陰影部分的面積之和正好等于直角三角形的面積.”

【解析】圖中陰影部分的面積是S1+S2+S△ABC-S3，且由上面的結論S1+S2=S3，∴S陰影=S△ABC （此陰影部分在數學史上稱為“希波克拉底月牙”）.

例題拓展 如圖4，是一株美麗的“勾股樹”，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形. 若正方形A、B、C、D的邊長分別是3，5，2，3，則最大正方形E 的面積是（ ）.

A. 13 B. 26

C. 47 D. 94

【解析】由勾股定理可知SM=SA+SB，SN=SC+SD，所以SE=SM+SN=32+52+22+32=47.故應選C.

變式 在直線l上依次擺放著七個正方形（如圖5所示），已知斜放置的三個正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+S2+S3+S4=_______.

【解析】此題不可能分別求出S1，S2，S3、S4，但我們可以分別求出S1+S2，S3+S4. 例如S3+S4可用以下方法求得：

易知Rt△ABC≌Rt△CDE，

∴AB=CD，BC=DE. 又CD2+DE2=CE2，

而CD2=AB2=S3，DE2=S4，CE2=3，

∴S3+S4=3，同理S1+S2=1，

∴S1+S2+S3+S4=1+3=4.

我們從課本上的例題出發，重點探究了一類關于“勾股樹”（國外叫做“畢達哥拉斯樹”）的探究題，主要考查靈活運用勾股定理解決問題的能力，但不難看出這些看似復雜的圖形中蘊含著獨特的數量關系.勾股定理還有很多種證明方法，同學們可以在課后去挖掘一下里面的奧秘.

（作者單位：江蘇省鎮江市外國語學校）