數形結合，攻破難點

王琳

本章的重點內容“勾股定理”是反映自然界基本規律的一條重要結論，它有著悠久的歷史，在數學發展中起著重要的作用.它揭示了一個直角三角形三條邊之間的數量關系，把數與形統一起來，在現實世界中有著廣泛的應用.在運用勾股定理解題時，同學們如果能正確地把握數形結合的思想方法，就可思路開闊，方法簡便快捷.

例1 如圖1，在一個由4×4個小正方形組成的正方形網格中，陰影部分面積與正方形ABCD的面積比是（ ）.

A. 3∶4 B. 5∶8

C. 9∶16 D. 1∶2

【分析】假設一個小正方形的面積為1，觀察圖形可知正方形ABCD的面積為16.其陰影部分也是正方形，其邊長為其中一個直角三角形的斜邊，設其為a，則a2=12+32，所以陰影部分的正方形面積為a2=10，陰影部分面積與正方形ABCD的面積比為10∶16=5∶8，故應選B.

【點評】本題也可從另一個角度考慮，在求陰影部分面積時利用割補的辦法，用一個大正方形的面積減去四周四個小直角三角形的面積，思路也很獨特.

例2 如圖2，在由單位正方形組成的網格圖中標有AB，CD，EF，GH四條線段，其中能構成一個直角三角形三邊的線段是（ ）.

A. CD，EF，GH B. AB，CD，GH

C. AB，EF，GH D. AB，CD，EF

【分析】假設一個小正方形的邊長為1，由勾股定理可以算出AB2=8，CD2=20，EF2=5，GH2=13，從而有AB2+EF2=GH2，故應選C. 本題既有勾股定理的應用，又有逆定理的應用，體現了形和數的互相轉化.

【點評】把網格中的最小正方形邊長設為1，是我們解決許多網格線問題的常用手段.

例3 如圖3，有一棵筆直的大樹被大風刮斷，斷痕離地面5米，樹梢拖到地面，離樹根處12米，求這棵大樹折斷之前有多高.

【分析】大樹從斷痕處被分成兩部分，并與地面構成直角三角形，利用勾股定理可求出斷痕至樹梢的長度，即直角三角形的斜邊.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=52+122=169=132. 所以AB=13，所以樹高是5+13=18（米）.

例4 如圖4是一種“羊頭”形圖案，其做法是：從正方形①開始，以它的一邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角邊為邊，分別向外作正方形②和②′，…，然后依次類推，若正方形①的邊長為64 cm，則正方形⑦的邊長為______cm.

【分析】觀察圖案可以知道，這是一類關于“勾股樹”，國外叫做“畢達哥拉斯樹”的探討題. 由于正方形①的邊長為64 cm，所以由勾股定理可以求得正方形②的面積為32×64，同理可以利用勾股定理分別求出正方形③、④…⑦的面積為16×64、8×64、4×64、2×64、64，所以正方形⑦的邊長是8.

例5 如圖5，一圓柱高8 cm，底面半徑2 cm，一只螞蟻從點A爬到點B處吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（ ）.

A. 20 cm B. 10 cm

C. 14 cm D. 無法確定

【分析】本題在觀察圖形之后首先要避免直接連接AB求最短路程的錯誤思路. 因為螞蟻的爬行路線只可能在圓柱體的表面，是一段曲線，到目前為止我們還不會求曲線的長度，故可以考慮沿著過A的豎線（過A點的側棱）把圓柱體的側面展開，得到圖6.

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC的長度為圓柱上底面周長的一半，根據圓周長公式求得BC=6. 由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=82+62=100=102. 所以AB=10，故答案選B.

例6 如圖6，一塊草坪的形狀為四邊形ABCD，其中∠B=90°，AB=3 m，BC=4 m，CD=12 m，AD=13 m. 求這塊草坪的面積.

【分析】本題由于問題四邊形ABCD是一個不規則四邊形，所以不可能用常規的面積公式來求解. 求不規則圖形的面積我們常考慮“割補法”，把圖形“補全”或“分割”成一個規則的基本圖形，所以本題中考慮添加輔助線. 如圖8，連接AC，原來的四邊形被分割成兩個三角形，要求出△ABC和△ACD的面積之和，Rt△ABC的面積根據直角三角形面積公式很容易得出，而對△ACD特殊形狀的判斷就成為本題最后的難點.

解：連接AC，

在Rt△ABC中，∠B=90°，由勾股定理，得

AC2=AB2+BC2=32+42=25=52.

所以AC=5.

在△ACD中，

因為AD=13，CD=12，AC=5，

所以122+52=132，

即CD2+AC2=AD2.

由勾股定理逆定理可得：△ACD為直角三角形，∠ACD=90°，

所以S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD

=×3×4+×5×12

=36.

答：這塊草坪的面積是36 m2.

【點評】把不規則圖形轉化為規則圖形，靈活地應用勾股定理及逆定理是解決本題的關鍵.

（作者單位：江蘇省鎮江市第四中學）