走進勾股定理知識長廊

王璐

一、 追溯勾股定理的歷史

勾股定理是幾何中的一個重要定理，傳統上認為是由古希臘的畢達哥拉斯所證明.據說畢達哥拉斯證明了這個定理后，即殺了百頭牛來慶祝，因此又稱“百牛定理”.在中國，《周髀算經》也記載了勾股定理，相傳是在商代由商高發現，故又稱之為商高定理.

二、 勾股定理知識概要

“直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”，這就是大名鼎鼎的勾股定理，它描述了直角三角形三邊的關系.而勾股定理的逆定理是：“若一個三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.”它的作用是用來判斷一個三角形是否直角三角形.無論是勾股定理還是它的逆定理，都為我們更深刻地研究直角三角形作出了很大的貢獻.

此外，掌握常用的勾股數也可以給我們的計算帶來方便.我們把滿足a2+b2=c2的三個正整數a，b，c稱為勾股數，常見的有：3，4，5；

6，8，10；5，12，13；8，15，17；7，24，25. 當然我們還可以證明勾股數的整數倍數仍然是勾股數.

三、 學會靈活運用勾股定理

在使用勾股定理時，首先要判斷三角形是否直角三角形，然后找出直角邊和斜邊，最后運用勾股定理.若圖形缺少直角條件，則可以通過作垂線的方法構造直角三角形.若不能直接運用勾股定理求出直角三角形的邊，則可以引入未知數，建立方程求解.勾股定理主要有以下應用：

1. 已知直角三角形兩邊，求第三邊.

2. 已知直角三角形一邊，求另兩邊的關系.

3. 探索三個圖形面積之間的關系.

如圖1分別以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，半圓，等邊三角形，我們可以利用勾股定理以及面積公式證明每幅圖中三個圖形的面積之間存在著同樣的關系.

5. 求直角三角形斜邊上的高.

例 若三角形三邊長分別是6，8，10，則它最長邊上的高為多少？

【分析】本題首先要借助勾股定理的逆定理判斷出這是一個直角三角形，且長為10的那條邊為斜邊.所以三角形的面積可以用直角邊乘積的一半求解，即面積為24. 又直角三角形還可以用一般的三角形面積公式，即邊長與這條邊上的高所得積的一半.所以用斜邊乘斜邊上的高的一半也等于24，解出高的長度即可.

四、 勾股定理及其逆定理的綜合運用

在四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，且AB⊥BC.試求整個圖形的面積.

【分析】本題根據條件是可以判斷三角形ABC為直角三角形的，所以可以根據勾股定理求出AC邊的長度.同時也可以求出三角形ABC的面積，但是在沒有判斷三角形ACD為直角三角形的情況下，不能直接用兩直角邊乘積的一半求其面積.

思路：根據勾股定理求出AC=5，并且求出三角形ABC面積為6，又因為三角形ACD中三邊長為5，12，13，根據勾股定理的逆定理判斷出三角形ACD為直角三角形，面積為AC與CD乘積的一半，即30，所以整個圖形的面積為36.

要想學好勾股定理，同學們一定要多總結不同題型的解法，在做題中去體會老師說到的一些解題方法.如巧妙地設未知數可以解決一些折疊問題或是其他無法直接求出邊長的題目，方程也可以幫我們解決一些圖形問題.

最后給同學們出一道難題：

在我國古算書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載.如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構成的，可以用其面積關系驗證勾股定理. 圖2是由圖1放入矩形內得到的，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，點D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為______.

答案：440.

（作者單位：江蘇省鎮江市外國語學校）