一類分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的混沌與控制研究

莊科俊，溫朝暉

（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠233030）

0 引言

自從1963年Lorenz在三維自治系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)首個(gè)混沌吸引子以來(lái)，各種混沌與超混沌系統(tǒng)陸續(xù)被發(fā)現(xiàn).各種混沌模型的研究一方面為混沌系統(tǒng)理論的發(fā)展提供分析依據(jù)，另一方面也為混沌的應(yīng)用研究提供了豐富的源泉.同時(shí)，與之相關(guān)的混沌控制也同步成為近幾十年來(lái)混沌研究的新熱點(diǎn)，并在通信領(lǐng)域得到較為廣泛而深入的應(yīng)用.

分?jǐn)?shù)階微積分已有300年的歷史，目前有關(guān)分?jǐn)?shù)階微積分的專著［1］［2］和文獻(xiàn)［3］［4］對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分及分?jǐn)?shù)階微分方程作了很好的闡述.雖然分?jǐn)?shù)階的概念有著悠久的歷史，但將其應(yīng)用到物理學(xué)和工程學(xué)的研究熱潮還只是最近幾十年才興起的.許多分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)會(huì)呈現(xiàn)出非常有趣且復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，例如，在現(xiàn)有混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，［5］［6］文獻(xiàn)［7］［9］提出了大量的分?jǐn)?shù)階混沌與超混沌系統(tǒng)，并分析了系統(tǒng)的解的基本性態(tài).此外，還有不少學(xué)者研究了分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別準(zhǔn)則，［10］［11］混沌控制與同步，［12-14］及其在保密通信中的應(yīng)用等.［15］［16］

1 分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)

最近，文獻(xiàn)［5］發(fā)現(xiàn)了一類具有三次非線性項(xiàng)的三維自治混沌系統(tǒng)：

其中x1，x2，x3為狀態(tài)變量，a，b，c為正常數(shù).通過(guò)理論分析與數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a＝1，b＝c＝0.46時(shí)，有正的Lyapunov指數(shù)，從而系統(tǒng)（1）是混沌的.

本文試圖將分?jǐn)?shù)階微分算子引入系統(tǒng)（1），考慮如下的分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)：

其中α∈（0，1］，Dα表示α階的微分算子.

盡管分?jǐn)?shù)階微積分有Riemann-Liouville（R-L）定義和Caputo定義兩種常用定義，由于RL定義在數(shù)學(xué)上是嚴(yán)格的，是對(duì)經(jīng)典微積分的完美推廣，所以在有關(guān)分?jǐn)?shù)階微積分理論研究中被廣泛應(yīng)用.雖然Caputo定義沒(méi)有這種性質(zhì)，但是它要求的初始條件有明確的物理含義，所以在工程方面應(yīng)用較廣.因此，本文將采用Caputo定義的α階微分，即

這里n-1＜α≤n，本文記Dα為Caputo分?jǐn)?shù)階微分算子.

為了便于討論，首先給出本文要用到的分?jǐn)?shù)階Routh-Hurwitz準(zhǔn)則.

引理1，［10］［11］若分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的特征方程λ3＋a1λ2＋a2λ＋a3＝0的所有根滿足｜arg（λ）｜≥πα／2，則系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的.記

（i）若D（P）＞0，則平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定的充分必要條件是a1＞0，a3＞0，a1a2-a3＞0.

（ii）若D（P）＜0，a1≥0，a2≥0，a3＞0，則當(dāng)α＜2／3時(shí)平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的；若D（P）＜0，a1＜0，a2＜0，α＞2／3，則平衡點(diǎn)不穩(wěn)定.

（iii）若D（P）＜0，a1＞0，a2＞0，a1a2-a3＝0，則平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定.

（iv）平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定的必要條件是a3＞0.

首先，將利用分?jǐn)?shù)階Routh-Hurwitz準(zhǔn)則討論系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.由于分?jǐn)?shù)階不改變系統(tǒng)平衡點(diǎn)的個(gè)數(shù)與位置，因此，當(dāng)bc＞-1時(shí)，系統(tǒng)（2）有三個(gè)平衡點(diǎn)：E1（0，0，0），E2，3（±；當(dāng)bc≤-1時(shí)，系統(tǒng)（2）僅有零平衡點(diǎn).

系統(tǒng)（2）在平衡點(diǎn)E1處的特征方程為

當(dāng)a＝1，b＝c＝0.46時(shí)，特征根為λ1＝0.9131，λ2，3＝-0.7266±0.8939i，由引理1可知，對(duì)任意的α∈（0，1］，E1始終是不穩(wěn)定的.

系統(tǒng)（2）在平衡點(diǎn)E2，3處具有相同的特征方程：λ3＋（1-c）λ2＋（ab-c＋2a＋2abc）λ＋2a（1＋bc）＝0，當(dāng)a＝1，b＝c＝0.46時(shí)，特征根為λ1＝-0.8872，λ2，3＝0.1736±1.6435i，從而當(dāng)α≤2｜arg（λi）｜／π≈0.9330（i＝1，2，3）時(shí)，E2，3漸近穩(wěn)定；當(dāng)α＞0.9330時(shí)，E2，3不穩(wěn)定.分別取α為0.92、0.94，初值為（0，0，0.1），系統(tǒng)（2）的解曲線見圖1、2.從圖2還可以發(fā)現(xiàn)，α＞2｜arg（λi）｜／π僅是系統(tǒng)混沌的必要條件，而非充分條件.另取α為0.96與0.98時(shí)，系統(tǒng)有周期軌和混沌吸引子，見圖3、4.

圖1 α＝0.92時(shí)，系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定

圖2 α＝0.94時(shí)，系統(tǒng)（2）有周期軌

圖3α＝0.96時(shí)，系統(tǒng)（2）仍有周期軌

圖4 α＝0.98時(shí)，系統(tǒng)（2）有混沌吸引子

2 混沌控制

下面，將設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的線性反饋控制策略，以控制混沌吸引子到零平衡點(diǎn).考慮如下的受控系統(tǒng)：

其中k為控制系數(shù).取a＝1，b＝c＝0.46，系統(tǒng)（3）在平衡點(diǎn)E0（0，0，0）處的特征方程為：

根據(jù)分?jǐn)?shù)階Routh-Hurwitz準(zhǔn)則，記a1＝k＋0.54，a2＝k，a3＝0.46k-1.2116.則平衡點(diǎn)E0（0，0，0）漸近穩(wěn)定的必要條件是a3＞0，即k＞2.6339，此時(shí)必有a1＞0，且恒有a1a2-a3＞0.當(dāng)k＝3時(shí)，D（P）＝6.3279＞0，此時(shí)E0（0，0，0）漸近穩(wěn)定（見圖5）；當(dāng)k＝6時(shí)，D（P）＝-27.8027＜0，由引理1無(wú)法判斷E0（0，0，0）的穩(wěn)定性，但實(shí)際上仍是漸近穩(wěn)定的（見圖6）.

圖5 k＝3時(shí)，系統(tǒng)（3）的零平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定

圖6 k＝6時(shí)，系統(tǒng)（3）的零平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定

3 投影同步

本節(jié)將研究分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)（2）的混沌投影同步.驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)：

響應(yīng)系統(tǒng)：

這里u1，u2是非線性控制器，令ei＝xi-yi（i＝1，2，3），可以得到同步誤差系統(tǒng)為：

根據(jù)分?jǐn)?shù)階動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論，為了使驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)混沌投影同步，必須使得誤差系統(tǒng)在零平衡點(diǎn)處漸近穩(wěn)定.為此，設(shè)計(jì)如下的非線性控制器：

將（5）代入系統(tǒng)（4），可得

當(dāng)a＝1，b＝c＝0.46時(shí)，系統(tǒng)（6）在E0（0，0，0）處的特征方程的根為λ1＝λ2＝λ3＝ -1＜0，所以誤差系統(tǒng)在零平衡點(diǎn)處是漸近穩(wěn)定的（見圖7），從而驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了混沌投影同步.

圖7 誤差系統(tǒng)（6）的解曲線

4 結(jié)束語(yǔ)

本文將一類新的混沌系統(tǒng)推廣到了分?jǐn)?shù)階情形，通過(guò)理論分析及數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，當(dāng)階數(shù)小于0.9330時(shí)，系統(tǒng)的非零平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定，而階數(shù)略大于0.9330，系統(tǒng)有周期軌，從而產(chǎn)生Hopf分岔現(xiàn)象.另外，階數(shù)大于0.9330僅是系統(tǒng)混沌的必要條件，而非充分條件.在利用分?jǐn)?shù)階Routh-Hurwitz準(zhǔn)則判別具有線性反饋控制的系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性時(shí)，即使不滿足準(zhǔn)則的條件，平衡點(diǎn)仍然可能是穩(wěn)定的.因此，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性判別定理還有待進(jìn)一步的完善.

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