在解決力學問題時采用動能定理與機械能守恒定律的策略的初步擬定

蔣經緯

【摘 要】根據動能定理和機械能守恒定律的適用側重點對比，歸納一個初步的采用策略，從而指導平時教學的重點分配。

【關鍵詞】動能定理;機械能守恒定律;采用策略

在解答包含做功與能量變化的力學問題中，動能定理和機械能守恒定律都是用于解題的核心公式。在歷年的高考中，兩者都是出題熱點。若能靈活掌握兩者，就可以說是掌握了兩枚解題的金鑰匙。但對于學生而言，面對一道新的習題時，他總是更習慣于采用其中一種固定的思路來嘗試解題。而動能定理和機械能守恒定律在解題過程中的地位類似，這種情況下，兩者只會有一者被采用。其實，具體采用哪一條公式，這完全是取決于題目的類型與條件的。倘若學生優先采用了相對更有利于解題的一條公式，那么他的解題過程將會非常流暢，并且從中獲得極大的自信與滿足感，有利于其進一步的學習。因此，分析出并比較動能定理和機械能守恒定律兩者的適用優勢，歸納出一個初步的采用策略，并以此來分配平時教學的側重，這將會顯著地提高教學效能。

現將通過對一些例題的分析，對比在采用動能定理和機械能守恒定律兩種不同的解題公式時的優勢與劣勢，從而得到一個初步的結論。

例題1：平臺型斜拋問題

如圖，在一個高為H的平臺上，將一個物體以速度v0斜向上拋出，物體最終落在另一個高為h的平臺上，求：當物體剛好落在另一個平臺上時的速度v。

1.使用動能定理：

解：W=Ek2-Ek1

W=WG=mg（H-h）

Ek2=12mv2

Ek1=12mv02

所以有mg（H-h）=12mv2-12mv02

解得v=gH-h+v02

2.使用機械能守恒定律：

解：將地面定義為零勢面

E=Ek1+Ep1

Ek1=12mv02;Ep1=mgH

E`=Ek2+Ep2

Ek2=12mv2;Ep2=mgh

由于只有重力作用，所以E=E`

故有12mv02+mgH=12mv2+mgh

解得v=gH-h+v02

評價：在這一題中，使用動能定理的話步驟更少，但使用機械能守恒定律條理清晰，步驟也不是很多，這一場不分高下。

例題2：公路交通工具行駛問題

一輛在公路上行駛的汽車，質量m=5×103kg，行駛過程可以看為勻變速運動，從靜止開始加速的路程為5.0×102m時，開始勻速行駛，行駛速度v=72km/h，在此過程中汽車受到的阻力是其重量的0.02倍，求引擎提供的牽引力。

1.使用動能定理：

分析：和上一題不同的是，這一題中研究對象一共受到四個力——重力，支持力，阻力，牽引力——的作用，而其中重力是不做功的！做功的是阻力和牽引力。為此，W的表述就要適當斟酌一下了。

解：W=Ek2-Ek1

W=Wf+WF=f（-lf）+FlF=-flf+FlF

Ek2=12mv2

Ek1=12mv02=0

所以有-flf+FlF=12mv2-12mv02

解得F=12mv2+flflF

代入數據：F=3000N

2.使用機械能守恒定律：

由于涉及到了非保守力——也就是阻力和牽引力——做功，機械能守恒定律無法使用。

評價：至此，機械能守恒定律的最大缺陷暴露無遺：由于其擁有“只有保守力做功”這一限制度超高的使用條件，導致了面對相當數量的問題時，機械能守恒定律根本無法使用。而這時，動能定理則因為其毫無限制而大展神威。

例題3：豎拋問題

以10m/s的速度將質量為m的物體從地面豎直向上拋出，若忽略空氣阻力，求于上升過程中何處重力勢能與動能相等？（默認地面為參考面）

1.使用動能定理：

解析：這一題對動能定理相當不友好，原因在于終點的位置高度——涉及過程中外力做功——和終點時的速度——涉及到末動能——全部沒有給出，那是不是說就不能使用動能定理了呢？也不盡然，盡管終點位置高度與終點速度均未給出，我們依然可以先將其待定，再想辦法消去即可。

解：設起點為A，則衍生出初始高度為hA，初始速度為vA;

設在上升過程中，當球到達B點時，其重力勢能與動能相等，則衍生出當時高度為hB，速度為vB.

則有W=Ek2-Ek1

W=WG=mg（hA-hB）=-mghB

Ek2=12mvB2

Ek1=12mvA2

所以有-mghB=12mvB2-12mvA2

根據題意：可得mghB=12mvB2

所以可得12mvA2=2mghB

解得hB=vA24g

代入數據得hB=2.5m

2.使用機械能守恒定律：

解析：這一題只有重力做功，機械能守恒定律可以使用。

解：地面為零勢面

EA=EKA+EPA

EkA=12mvA2;EpA=mgH=0

EB=EKB+EPB

（此文下轉到第77頁）endprint

【摘 要】根據動能定理和機械能守恒定律的適用側重點對比，歸納一個初步的采用策略，從而指導平時教學的重點分配。

【關鍵詞】動能定理;機械能守恒定律;采用策略

在解答包含做功與能量變化的力學問題中，動能定理和機械能守恒定律都是用于解題的核心公式。在歷年的高考中，兩者都是出題熱點。若能靈活掌握兩者，就可以說是掌握了兩枚解題的金鑰匙。但對于學生而言，面對一道新的習題時，他總是更習慣于采用其中一種固定的思路來嘗試解題。而動能定理和機械能守恒定律在解題過程中的地位類似，這種情況下，兩者只會有一者被采用。其實，具體采用哪一條公式，這完全是取決于題目的類型與條件的。倘若學生優先采用了相對更有利于解題的一條公式，那么他的解題過程將會非常流暢，并且從中獲得極大的自信與滿足感，有利于其進一步的學習。因此，分析出并比較動能定理和機械能守恒定律兩者的適用優勢，歸納出一個初步的采用策略，并以此來分配平時教學的側重，這將會顯著地提高教學效能。

現將通過對一些例題的分析，對比在采用動能定理和機械能守恒定律兩種不同的解題公式時的優勢與劣勢，從而得到一個初步的結論。

例題1：平臺型斜拋問題

如圖，在一個高為H的平臺上，將一個物體以速度v0斜向上拋出，物體最終落在另一個高為h的平臺上，求：當物體剛好落在另一個平臺上時的速度v。

1.使用動能定理：

解：W=Ek2-Ek1

W=WG=mg（H-h）

Ek2=12mv2

Ek1=12mv02

所以有mg（H-h）=12mv2-12mv02

解得v=gH-h+v02

2.使用機械能守恒定律：

解：將地面定義為零勢面

E=Ek1+Ep1

Ek1=12mv02;Ep1=mgH

E`=Ek2+Ep2

Ek2=12mv2;Ep2=mgh

由于只有重力作用，所以E=E`

故有12mv02+mgH=12mv2+mgh

解得v=gH-h+v02

評價：在這一題中，使用動能定理的話步驟更少，但使用機械能守恒定律條理清晰，步驟也不是很多，這一場不分高下。

例題2：公路交通工具行駛問題

一輛在公路上行駛的汽車，質量m=5×103kg，行駛過程可以看為勻變速運動，從靜止開始加速的路程為5.0×102m時，開始勻速行駛，行駛速度v=72km/h，在此過程中汽車受到的阻力是其重量的0.02倍，求引擎提供的牽引力。

1.使用動能定理：

分析：和上一題不同的是，這一題中研究對象一共受到四個力——重力，支持力，阻力，牽引力——的作用，而其中重力是不做功的！做功的是阻力和牽引力。為此，W的表述就要適當斟酌一下了。

解：W=Ek2-Ek1

W=Wf+WF=f（-lf）+FlF=-flf+FlF

Ek2=12mv2

Ek1=12mv02=0

所以有-flf+FlF=12mv2-12mv02

解得F=12mv2+flflF

代入數據：F=3000N

2.使用機械能守恒定律：

由于涉及到了非保守力——也就是阻力和牽引力——做功，機械能守恒定律無法使用。

評價：至此，機械能守恒定律的最大缺陷暴露無遺：由于其擁有“只有保守力做功”這一限制度超高的使用條件，導致了面對相當數量的問題時，機械能守恒定律根本無法使用。而這時，動能定理則因為其毫無限制而大展神威。

例題3：豎拋問題

以10m/s的速度將質量為m的物體從地面豎直向上拋出，若忽略空氣阻力，求于上升過程中何處重力勢能與動能相等？（默認地面為參考面）

1.使用動能定理：

解析：這一題對動能定理相當不友好，原因在于終點的位置高度——涉及過程中外力做功——和終點時的速度——涉及到末動能——全部沒有給出，那是不是說就不能使用動能定理了呢？也不盡然，盡管終點位置高度與終點速度均未給出，我們依然可以先將其待定，再想辦法消去即可。

解：設起點為A，則衍生出初始高度為hA，初始速度為vA;

設在上升過程中，當球到達B點時，其重力勢能與動能相等，則衍生出當時高度為hB，速度為vB.

則有W=Ek2-Ek1

W=WG=mg（hA-hB）=-mghB

Ek2=12mvB2

Ek1=12mvA2

所以有-mghB=12mvB2-12mvA2

根據題意：可得mghB=12mvB2

所以可得12mvA2=2mghB

解得hB=vA24g

代入數據得hB=2.5m

2.使用機械能守恒定律：

解析：這一題只有重力做功，機械能守恒定律可以使用。

解：地面為零勢面

EA=EKA+EPA

EkA=12mvA2;EpA=mgH=0

EB=EKB+EPB

（此文下轉到第77頁）endprint

【摘 要】根據動能定理和機械能守恒定律的適用側重點對比，歸納一個初步的采用策略，從而指導平時教學的重點分配。

【關鍵詞】動能定理;機械能守恒定律;采用策略

在解答包含做功與能量變化的力學問題中，動能定理和機械能守恒定律都是用于解題的核心公式。在歷年的高考中，兩者都是出題熱點。若能靈活掌握兩者，就可以說是掌握了兩枚解題的金鑰匙。但對于學生而言，面對一道新的習題時，他總是更習慣于采用其中一種固定的思路來嘗試解題。而動能定理和機械能守恒定律在解題過程中的地位類似，這種情況下，兩者只會有一者被采用。其實，具體采用哪一條公式，這完全是取決于題目的類型與條件的。倘若學生優先采用了相對更有利于解題的一條公式，那么他的解題過程將會非常流暢，并且從中獲得極大的自信與滿足感，有利于其進一步的學習。因此，分析出并比較動能定理和機械能守恒定律兩者的適用優勢，歸納出一個初步的采用策略，并以此來分配平時教學的側重，這將會顯著地提高教學效能。

現將通過對一些例題的分析，對比在采用動能定理和機械能守恒定律兩種不同的解題公式時的優勢與劣勢，從而得到一個初步的結論。

例題1：平臺型斜拋問題

如圖，在一個高為H的平臺上，將一個物體以速度v0斜向上拋出，物體最終落在另一個高為h的平臺上，求：當物體剛好落在另一個平臺上時的速度v。

1.使用動能定理：

解：W=Ek2-Ek1

W=WG=mg（H-h）

Ek2=12mv2

Ek1=12mv02

所以有mg（H-h）=12mv2-12mv02

解得v=gH-h+v02

2.使用機械能守恒定律：

解：將地面定義為零勢面

E=Ek1+Ep1

Ek1=12mv02;Ep1=mgH

E`=Ek2+Ep2

Ek2=12mv2;Ep2=mgh

由于只有重力作用，所以E=E`

故有12mv02+mgH=12mv2+mgh

解得v=gH-h+v02

評價：在這一題中，使用動能定理的話步驟更少，但使用機械能守恒定律條理清晰，步驟也不是很多，這一場不分高下。

例題2：公路交通工具行駛問題

一輛在公路上行駛的汽車，質量m=5×103kg，行駛過程可以看為勻變速運動，從靜止開始加速的路程為5.0×102m時，開始勻速行駛，行駛速度v=72km/h，在此過程中汽車受到的阻力是其重量的0.02倍，求引擎提供的牽引力。

1.使用動能定理：

分析：和上一題不同的是，這一題中研究對象一共受到四個力——重力，支持力，阻力，牽引力——的作用，而其中重力是不做功的！做功的是阻力和牽引力。為此，W的表述就要適當斟酌一下了。

解：W=Ek2-Ek1

W=Wf+WF=f（-lf）+FlF=-flf+FlF

Ek2=12mv2

Ek1=12mv02=0

所以有-flf+FlF=12mv2-12mv02

解得F=12mv2+flflF

代入數據：F=3000N

2.使用機械能守恒定律：

由于涉及到了非保守力——也就是阻力和牽引力——做功，機械能守恒定律無法使用。

評價：至此，機械能守恒定律的最大缺陷暴露無遺：由于其擁有“只有保守力做功”這一限制度超高的使用條件，導致了面對相當數量的問題時，機械能守恒定律根本無法使用。而這時，動能定理則因為其毫無限制而大展神威。

例題3：豎拋問題

以10m/s的速度將質量為m的物體從地面豎直向上拋出，若忽略空氣阻力，求于上升過程中何處重力勢能與動能相等？（默認地面為參考面）

1.使用動能定理：

解析：這一題對動能定理相當不友好，原因在于終點的位置高度——涉及過程中外力做功——和終點時的速度——涉及到末動能——全部沒有給出，那是不是說就不能使用動能定理了呢？也不盡然，盡管終點位置高度與終點速度均未給出，我們依然可以先將其待定，再想辦法消去即可。

解：設起點為A，則衍生出初始高度為hA，初始速度為vA;

設在上升過程中，當球到達B點時，其重力勢能與動能相等，則衍生出當時高度為hB，速度為vB.

則有W=Ek2-Ek1

W=WG=mg（hA-hB）=-mghB

Ek2=12mvB2

Ek1=12mvA2

所以有-mghB=12mvB2-12mvA2

根據題意：可得mghB=12mvB2

所以可得12mvA2=2mghB

解得hB=vA24g

代入數據得hB=2.5m

2.使用機械能守恒定律：

解析：這一題只有重力做功，機械能守恒定律可以使用。

解：地面為零勢面

EA=EKA+EPA

EkA=12mvA2;EpA=mgH=0

EB=EKB+EPB

（此文下轉到第77頁）endprint