求極限的主要方法、相互關聯及最優求解

周麗

摘 要 本文歸納總結了求極限的八大方法，并指出這八大方法之間的關聯，最后給出極限的最優求解。

關鍵詞 極限 關聯 最優求解

中圖分類號：O171 文獻標識碼：A

The Main Method， Interrelation and Optimal

Solution of Seeking the Limits

ZHOU Li

（School of Economics and Management， Guangzhou University of Chinese Medicine， Guangzhou， Guangdong 510006）

Abstract This paper summarizes the eight methods of seeking limits， and indicates the interrelation between the eight methods， finally reaches the conclusion of optimal solution of seeking the limits.

Key words limits; interrelation; optimal solution

0 引言

所有的大學數學教材，如《高等數學》、《微積分》、《經濟數學》、《醫藥高等數學》等，基本上第一部分介紹的一定是函數的極限，第二部分介紹的是導數與微分，第三部分是積分等。我們知道，高等數學的核心就是微分和積分，即第二部分和第三部分，無論是微分還是積分，都是根據極限來定義的，所以極限是大學數學的基石，需要學生牢牢掌握它。而極限的求法五花八門，碰到求極限題問題，究竟要用哪種方法求解、哪種方法又是最優求解，是學生必須要掌握的問題。該文即是歸納總結求極限方法，幫助學生理順思路，尋求最優的求解過程。

1 極限的求法

極限的求法有以下幾種：

①四則運算法則：

設 ?（）=， ?（）=，則：

例如：

= ?= ?=

②復合函數的極限運算法則

若 （）=， ? （）=

則 ?（（））= ? （）=

例如： ? = ? =

③無窮小分出法得到的公式

例如： = ? =

④無窮小的性質：有界函數與無窮小量之積為無窮小量。

例如：（1） = ?= 0

（2） （3 + ） = 0

⑤消去零因子法（一般通過分解因式，通分或有理化后再消去零因子）

例如：

（1） = ?= ?=

（2）

（3）（ ?） =

= ? = ?=

⑥兩個重要極限

= 1及 =

例如：（1） = （+1） = （+1） = 2

（2） = ?=

⑦等價無窮小替換

這種方法需要理解并記憶一些等價的公式，以下是幾種常用的等價無窮小關系：當→0時， （1+）

例如：（1） = ?= 1

（2）

⑧洛必達法則

首先判斷 是否為或型，如果是，則用洛必達法則有 ?=

再判斷類型，若仍為或型，則繼續用洛必達法則;若為或，則得原極限為或;若得極限不存在，則洛必達法則使用不當，需利用前面的方法求極限。

例如：（1）

（2）

2 小結

以上歸納了求極限的八種方法，而這八種方法并非獨立，毫無關聯的。其中①②兩種方法是最基本，最簡單的方法，可以為后幾種方法打基礎的。第③種方法可以直接檢驗條件，從而套公式的。第④種方法要特別留神，一方面它比較獨立，另一方面容易與第⑥，第⑦種方法混淆，發生錯解。第⑤，第⑥種方法可以被第⑦，第⑧種方法替代，而第⑦，第⑧種方法可以相互結合，相融在一個題中。

可以這樣說，洛必達法則是求極限最普遍的方法，而等價無窮小替換是求極限最快捷的方法。這兩者并不矛盾，可以交錯結合使用。也就是說，在一個極限題中，如果能用等價無窮小替換先替換，再考慮用洛必達法則，使用完洛必達法則后，若3有等價無窮小，也可再使用等價無窮小，再用洛必達法則。

下面具體舉例子來說明：

第①-④種方法無需舉例了，對第⑤種方法可用第⑧種方法替換

例如：⑤中的（1）

（3）

第 ⑥種方法可被第⑦種方法替換

例如：⑥中的（1） = ?= （+1） = 2

⑥中的（2）

我們注意到此題用到了第②種方法

現在再舉例說明第⑦第⑧兩種方法的結合

例如：

參考文獻

[1] 遲彥惠.經濟數學[M].廣州：華南理工大學出版社，2007：42-56.

[2] 嚴云良，鄭潔鋼.醫藥高等數學[M].北京：科學出版社，2012：7-13.