十字交叉梁模型的塑性動力響應計算方法

楊 棣，姚熊亮，王 軍，李 卓

（哈爾濱工程大學 船舶工程學院，哈爾濱150001）

1 引 言

在艦船生命力研究中，如何正確預報非接觸爆炸作用下艦船板架變形是船舶結構毀傷力學研究的一個重要課題。對于板、梁在基于小變形和不計中面膜力的前提下，以及方板、圓板這些簡單結構已能較精確地預估出最大殘余變形[1-4]。但是對于多根梁的耦合作用，像艦船板架，其塑性動力響應研究較少,理論尚處于初步階段[5-6]。以往，針對此問題，梅志遠等曾用有限元法進行處理[7]，而由于每個技術人員采用的技術方式不同，如參數的輸入，網格數的選取，導致計算精度不能得到很好的保證。方斌等提出用能量法將底部板架的響應過程分為整體變形和局部變形[8]，進行理論分析的方法，該方法能得到板架的最大塑性變形，卻不能得到塑性動力響應的時間歷程。此外，吳有生等針對艦船特殊的船體結構選取典型板架，并從板架模型中簡化出十字加筋板，提出了爆炸載荷作用下艦船板架的變形和破損的計算方法[9]，但是沒有計及交叉梁二者在關聯處力的耦合作用。

近年來，由于剛塑性假設在板架塑性動力響應的計算方法中發展起來，本文在十字交叉梁模型的基礎上，計及橫向與縱向構件在關聯處的支撐力作用，采用剛塑性假設，通過動力學定理，提出了針對水下爆炸板架結構的理論計算模型，經推導出得出了一整套新型快速的板架變形撓度計算方法，所得結果與實驗數據吻合較好，得到了對工程有指導意義的結論。

2 板架動力學模型建立

艦船對于船體的總縱強度要求較高，主體部分一般采用縱向骨架式，縱向構件強度稍強于橫向構件，但數目相差無幾的結構形式，如圖1所示。船體板架結構在受爆炸沖擊載荷作用下支撐處的力的傳遞過程相似，因此可以從多根交叉梁系結構中抽取出兩根梁，一根橫向構件和一根縱向構件構成如圖2所示的十字交叉梁結構模型，來分析在沖擊載荷作用下的梁的塑性動力響應。

圖1 船底板架示意圖Fig.1 The diagram of the ship bottom frame

圖2 十字交叉梁結構示意圖Fig.2 The schematic drawing of the cross beam structure

水下爆炸分為近場和中遠場爆炸，而近場與中遠場的區別以爆距和TNT當量藥包的半徑之比=R/r）作判據，為近場爆炸為中場爆炸為遠場爆炸。由于距離的不同，沖擊波為球面波，考慮壁面反射作用[10]后，沖擊波的表達式為：

艦船上載荷可以簡化成均布載荷，爆炸沖擊載荷因爆點離船體底部板架有一定的距離，則爆炸載荷只作用于主向梁上，而由于主向梁與交叉構件緊密相連，作用在主向梁上的載荷再通過二者的連接處傳到交叉構件上，計算力學模型如圖3、4所示。在計算過程中由于考慮工程的近似性，以及計算模型的可行性，采用剛塑性梁分析。

作用在十字交叉梁上的均布載荷可表示為：

其中：a為交叉構件間跨距

由于交叉構件強度稍強于主向梁，則主向梁在交叉處產生塑性鉸，并且從中間分為兩段，各有一個區段分別產生塑性區域，交叉構件整體產生兩個可動塑性鉸，如圖4所示。

圖3 中遠場爆炸載荷作用下動力學模型Fig.3 The dynamic model in cosco explosion load

圖5 主向梁左半端取出一段的受力圖Fig.5 The force diagram of part from the left part of the main beam

圖6 交叉構件左端一部分受力示意圖Fig.6 The force diagram of the left part of the cross component

計算時從主向梁中取出一段，對其進行受力分析，如圖5所示。

引入載荷參數[3]

其中：L為主向梁的跨長，L=2l，M0為主向梁的極限彎矩，q為作用在主向梁上的均布載荷。

設x1為主向梁的可動塑性鉸的位置（坐標原點設在次梁每跨的左端），如果載荷形式滿足不等式dq/dt≤0，由梁的運動方程及初始條件得到非定常塑性鉸的運動規律x1（t）[3]：

設O點的速度為v0，加速度為a0，

最后計算交叉構件與主向梁之間的相互作用的反力R，為此，對主向梁剛性區段ox1應用動量定理，由動量定理得：

其中：m=m0+m1，m1=0.5kρwb2，m為主向梁單位塑性運動單位長度參與質量，m0為主向梁單位長度質量，m1為附連水質量，k為影響系數，ρw為水的密度，b為主向梁間跨距。

對O點取矩，由動量矩定理得

由（6）式，得

將（7）式代入（5）式中，得

這時作用在主向梁上的支反力作用在交叉構件上，運動形式如圖4所示。

在計算交叉構件時，引入新的載荷系數

其中：L′為交叉構件的跨長的一半，L′=2l′，M0′為交叉構件的極限彎矩，P為作用在交叉構件上的力，P=2R。

對交叉構件中間區段，如圖6所示，由受力情況可見，

其中：m′=m0′+m2，m2=0.5kρwba，m′為主向梁單位塑性運動單位長度參與質量，m0′為交叉構件單位長度質量，m2為附連水質量，a為交叉構件間跨距。

由上式可得

設兩端剛性區段的角速度為ω1，則任一截面的運動速度為

為了確定角速度ω1，可應用塑性鉸處的運動速度連續條件，即

將（12），（13）式代入上式可得，

取交叉構件左端一部分如圖6所示，由動量矩定理，列如下方程

由各區段表達式，即（12），（13）和（15）式代入（16）式，可得塑性鉸運動規律：

由（12）、（18）式可得左半梁的速度分布為

圖7 交叉構件運動最后停止時刻的模型Fig.7 The model of the cross component movement which finally stops

當ξ=1時，即交叉構件從兩個塑性鉸移動成一個塑性鉸模型時，如圖7所示，這時的時間為

由動量矩定理，可得

設tf為交叉構件停止運動的時刻，由（21）式可得

最后積分（19）式得到梁中點的撓度公式為：

3 計算方法有效性的驗證

為了驗證本文所建立理論計算方法的合理性，對某船一艙段進行了水下爆炸試驗。試驗艙段高為3.85 m，型寬為8.2 m，長為7.5 m，底部板架結構是典型的縱向式結構，具有艦船的板架結構的特征，其中橫向構件與縱向構件的強度差不多，由五根縱向構件和五根橫向構件均布構成，縱向構件間距是1.6 m，橫向構件間距是1.5 m。試驗水池深20 m，試驗過程中采用水下500幀高速攝像機進行拍攝，為了測得典型部位的應變歷程曲線，在試驗艙段內部典型部位布應變片，測點的布置如圖8所示，試驗工況的爆炸TNT當量為8 kg和6 kg，根據本文第二節給出的判據，得到如表1所示的試驗工況，爆點示意圖如圖9所示。

表1 試驗工況表Tab.1 Test conditions

圖8 應變測點布置圖Fig.8 The strain point arrangement

圖9 試驗工況示意圖Fig.9 The schematic diagram of the test conditions

利用上述試驗艙段的數據進行有限元建模，所建模型剖面圖如圖10所示，按表1的工況進行加載，其中工況3下船體底部板架的交叉構件變形過程如圖11所示，從圖中可看出，交叉構件在運動過程中首先產生兩個塑性鉸，與建立的理論計算模型運動過程（圖4）類似。

根據艙段底部板架的數據，選取中間的一根主向梁和交叉構件作為十字交叉梁計算模型，算出十字梁的靜態極限彎矩，針對如圖9所示的工況利用（23）式對十字梁理論計算模型進行編程計算，所得交叉構件的中點處撓度值如表2所示。利用（24）式將撓度轉化為應變，與有限元模型所算的數據，及試驗所得數據進行對比，得到如表3所示數據。

表2 交叉構件跨長中點處撓度值Tab.2 The deflection of midpoint in the cross component across long

表3 不同工況與實驗數據的對比Tab.3 The contrast with experiment data under different working conditions

從表3可以看出，誤差均在30%以內，產生誤差的原因：計算模型采用剛塑性模型，而實際材料不是；理論計算模型兩端邊界條件采用剛固，與實際邊界條件不太符合；沖擊波作用在梁上是采用的均布載荷，而實際爆炸沖擊載荷是球面波，作用在主向梁的載荷不可能完全是均布的；由于實驗時艦船在水下受沖擊波作用時，沖擊波不直接作用在梁上，而是首先作用在船體板上，一部分動能被板先吸收，則導致實際變形撓度小于理論計算結果。誤差ε1大于ε2的原因：網格大小的選擇影響最后有限元計算結果；有限元軟件是利用聲場模擬水下爆炸，載荷的計算采用的是聲固耦合的方法，而水下爆炸試驗則是采用流固耦合的方法計算載荷。由于十字交叉梁模型的交叉構件中點是船體板架變形的最大處，且從表3中可看出計算所得誤差均在工程許可范圍內，因此利用十字交叉梁模型計算船體板架結構的塑性變形撓度可以較好地估計船體塑性破壞程度，有著較好的工程應用價值。

4 結 論

本文在簡化板架結構為十字交叉梁的基礎上，提出了水下爆炸載荷作用下剛塑性十字交叉梁的動力學理論計算模型，經推導得到了一整套新型快速板架變形撓度的計算方法，所得結果與有限元模型數據，以及實驗數據進行對比，吻合較好，得到了如下幾點結論。

（1）本文充分考慮艦船板架結構的特殊性（大部分是縱骨架式船體板架，且縱向與橫向構件的強度相差不大，數目也相似），選取計算模型時從板架中抽取了中間兩根交叉梁構成了十字交叉梁模型代替整個板架結構進行動力學模型分析，所選模型計算結果與實驗艙段的底部板架的塑性響應結果進行對比分析，此力學模型選取合理。

（2）本文在選取的十字交叉梁模型計算過程中，計及了主向梁與交叉構件的關聯處運動，較以往的計算方法更進一步地逼近真實梁在關聯處的運動，所得模型計算結果與有限元模型的數據，以及實驗數據作對比，吻合較好。

（3）本文針對實驗過程中梁的運動狀況，提出了十字梁中的交叉構件在運動初始階段首先產生兩個塑性鉸的動力學假設模型。該模型與實驗艙段的有限元模型進行對比，艙段有限元模型中的縱桁的運動過程與提出的動力學假設模型中的交叉構件運動過程類似，證明此假設模型選取合理。

（4）本文針對十字梁動力學模型進行理論推導，得到梁中點的最終撓度計算公式，所得的理論計算結果與有限元模型結果、實驗結果具有較好的一致性，其誤差滿足工程精度。因此本文提出的船體板架變形撓度計算方法是可行的，具有較好的工程應用價值。

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